МатематическийАнализ1семестр

Производные и дифференциалы высших порядков

Определение: Производную f’(x) называют производной первого порядка функции y=f(x).

Определение: Производная от производной - производная второго порядка f’’(x)=(f’(x))’.

Механический смысл второй производной

S=S(t) точка движется по такому закону. S’(t) скорость, S’’(t) ускорение.

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке X и дифференцируема в некоторой

Δx и нелинейной (представляющую БМВ более высокого порядка чем Δx).

Определение: Дифференциал функции - главная линейная относительно Δx часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной.

41

= ' * ∆

Дифференциал не изменится, если в y дифференциальной функции отнять или прибавить константу.

Замечание: Разница - 0,02, а это 0,5%

24.10.2025

Геометрический смысл дифференциала

1. '( ) = α, α = = ∆

= α * ∆ = '( ) * ∆ = , ∆ = ( + ∆ ) − ( ), ∆ >

2. ∆ <

42

Вывод: Дифференциал функции - приращение ординаты касательной, проведённой к графику функции y=f(x) в данной точке, когда x получает приращение Δx.

Свойства дифференциала

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной. Пусть= ( ), = ( ) - дифференцируемые функции, C - константа

Пример: = 3 , = 3, = , =3 2 * (− ) , = 3 2 * ( )

Формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной x рассматривать от зависимой переменной u.

Применение дифференциала в приближённых вычислениях

43

225

2.(32 ) =?, 0 = 30 , ∆ = 2 ≈ 0. 035, (32 ) ≈ (30 ) + (30 ) * 0. 035 ≈ 0. 53

Дифференциалы высших функций

= ( ), = '( ) * ∆ , ( ) = ( '( ) * ∆ ) = ''( ) * (∆ )2, 2 = ''( ) * (∆ )2

Определение: Дифференциал 2 порядка (второй дифференциал) - дифференциал от

дифференциала 1 порядка этой функции 2 = ( )2 = ''( ) * (∆ )2

Определение: Дифференциал n-го порядка (n-ый дифференциал) - дифференциал от дифференциала (n-1) порядка этой функции = ( −1 ), = ( )( ) * (∆ ) Замечание: Дифференциалы 2 и большего порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Замечание: Производную можно представить как частное дифференциала функции и

Приложения производных Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма: Если дифференцируемая функция y=f(x) на промежутке X достигает наибольшего или наименьшего значения в точке 0 , то производная функции в этой точке равна 0.

Доказательство: Пусть y=f(x) дифференцируемая на промежутке X и в точке 0 принимает наименьшее значение, тогда зададим приращение этой точке Δx:

44

достигаемого внутри промежутка X касательная графику функции параллельна оси абсцисс.

30.10.2025

45

Теорема Ролля: Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям: 1. Непрерывна на отрезке [a;b] 2. Дифференцируема на интервале (a;b) 3. На концах отрезка равные значения f(a)=f(b), тогда существует как минимум одна точка на данном отрезке ξ, в которой производная функции равна нулю f’(ξ)=0.

Доказательство: На основании теоремы Вейерштрасса функция, непрерывная на отрезке, достигает на нём наибольшего и наименьшего значения M и m.

1.Предположим m и M на концах отрезка. Тогда по условию теоремы они равны. Тогда f(x)=const и f’(x)=0 для любого x из отрезка (a,b).

2.Пусть хотя бы одно из значений m или M достигается внутри отрезка, следовательно m<M. По теореме Ферма ξ ( ; ), '(ξ) = 0. Что и требовалось доказать.

Примечание автора: Идеи доказательства: 1. Применение теоремы Вейерштрасса 2. Разбор случаев - наибольшая и наименьшая точки на концах (производная везде нулевая), в противном случае есть хотя бы одну точку максимума или минимума внутри отрезка 3. По теореме Ферма в точке максимума или минимума производная равна нулю.

Геометрический смысл теоремы Ролля: найдётся хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функций параллельна оси абсцисс, если условия теоремы выполняются.

46

Все три условия теоремы Ролля существенны, и при невыполнении хотя бы одного из них вывод теоремы может оказаться неверным.

Ошибки: прерывность, разные значения и недифференцируемость

Теорема Ролля - частный случай теоремы Лагранжа.

Теорема Лагранжа: Пусть функция y=f(x) удовлетворяет условиям: 1) непрерывна на отрезке [a;b] 2) дифференцируема на интервале (a;b). Тогда внутри отрезка существует

такое ξ из интервала (a;b), что '(ξ) = ( )− ( ) частное от приращения функции на

−

приращение аргумента на этом отрезке равно производной функции.

Доказательство: Рассмотрим функцию ( ) = ( ) − ( )− ( ) * ( − ). Функция

−

g(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1.g(x) непрерывна на [a;b] (разность непрерывных функций)

2.g(x) дифференцируема на интервале (a;b) (разность дифференцируемых функций)

3.g(a)=g(b) (g(a)=f(a)-0, g(b)=f(b)-f(b)+f(a))

Значит, найдётся хотя бы одна точка ξ ( ; ): '(ξ) = 0

47

'(ξ) − ( )− ( ) = 0, что и требовалось доказать.

−

Замечание: Формулу Лагранжа можно записать и в таком виде:

( ) − ( ) = '(ξ) * ( − )

Механический смысл теоремы Лагранжа: ( ) − ( ) - изменение функции на отрезке

от a до b. ( )− ( ) - средняя скорость изменения функции на этом отрезке. Таким

−

образом, теорема утверждает: существует хотя бы одна точка внутри отрезка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа: функция непрерывна и дифференцируема, а на интервале найдётся точка ξ, что её касательная будет параллельна секущей.

Если перемещать прямую AB, то найдётся хотя бы одна точка ξ из интервала от a до b, в которой касательная графика функции параллельна

касательная = = '(ξ)

Следствие: Если производная функции f’(x)=0 на некотором промежутке X, то функция тождественно постоянная на этом промежутке. Затем рассмотрим промежуток [a:x].

По теореме Лагранжа: ( ) − ( ) = '(ξ) * ( − ),ξ ( ; ) ( ) = ( ) = . 07.11.2025

48

Теорема Коши (О среднем значении, Обобщённая теорема Лагранжа): y=f(x) и y=g(x)

удовлетворяют следующим условиям: 1) непрерывна на отрезке [a;b] 2) дифференцируема на интервале (a;b). Тогда внутри отрезка существует хотя бы одна

точка ξ ( ; ): '(ξ) = ( )− ( ) , '(ξ) ≠ 0, ( ) ≠ ( ).

'(ξ) ( )− ( )

Доказательство: Рассмотрим ( ) = ( ( ) − ( )) * ( ) − ( ( ) − ( )) * ( ). Удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1.Непрерывна на [a;b] (разность непрерывных функций, по условию)

2.Дифференцируема на (a;b) (разность дифференцируемых функций, по условию)

3.h(a)=h(b), так как ( ( ) − ( )) ( ) − ( ( ) − ( )) ( ) = ( ) ( ) − ( ) ( ) Тогда существует ξ ( ; ): '(ξ) = 0, ( ( ) − ( )) '(ξ) − ( ( ) − ( )) '(ξ) = 0

Пусть '(ξ) ≠ 0, ( ) ≠ ( )

Геометрический смысл теоремы Коши: На кривой заданы параметрически (f(x),g(x)), существует касательная, параллельная хорде, соединяющей концы кривой на этом отрезке, при условии, что вектор скорости нигде не обращается в ноль.

Замечание: Если g(x)=x, то теорема Коши сводится к теореме Лагранжа.

Теорема Лопиталя (Правило Лопиталя): Предел отношения двух БМВ или двух ББВ равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.