Следствие: Если функция определена и непрерывна на некотором отрезке, то множество её значений также представляет собой некоторый интервал.

Первая теорема Вейерштрасса: Если функция y=f(x) определена и непрерывна на некотором отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Вторая теорема Вейерштрасса: Если функция y=f(x) определена и непрерывна на некотором отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своих точных граней, то есть найдутся точки 1, 2 [ , ], такие что

(1) = = ( ) ≤ ( ) ≤ = ( ) = (2)

07.10.2025

Асимптоты

31

Определение: Асимптота графика функции y=f(x) - прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x,f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. (График функции стремится к этой прямой)

32

Асимптоты могут быть односторонними

2. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших x и существует конечный предел lim ( ) = . Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота.

→±∞

3.Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших x и существуют конечные

33

Вывод: Невозможно существование у одной функции одновременно и наклонной и горизонтальной асимптот. Либо одна из них, либо нет ни одной.

Рассмотрим функцию y=f(x) с областью определения, содержащей некоторый интервал

(a,b).

Возьмём некоторое число x (a,b) и придадим аргументу x приращение Δx. Тогда значение функции получит приращение ∆ = ( + ∆ ) − ( ).

∆ →0

Определение: Функцию в этом случае называют дифференцируемой в точке. Если производная существует, то для всех x (a,b), то тем самым производная определена как функция f’(x).

Нахождение производной называется дифференцированием данной функции. 10.10.2025

34

Геометрический смысл производной

функции в этой точке, если данный предел существует.

− 0 = ( − 0), − 0 = '( 0) * ( − 0) - уравнение касательной. И наоборот: если функция имеет производную, то имеет и касательную

− ( 0) = '( 0) * ( − 0)

Механический смысл производной

Если функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии,

Правила дифференцирования

Пусть C принадлежит R, U и V - дифференцируемые функции. = ( ), = ( ) 1) Производная постоянной величины равна нулю. C’=0

Правило очевидно, так как любое приращение постоянной функций равно нулю 2) Производная аргумента функции равна единице

x’=1

Дадим аргументу x приращение Δx, тогда U и V получат наращенные значения, а функция y получит наращивание значения y=U+V. y+Δy=(U+ΔU)+(V+ΔV) Δy=(U+ΔU)+(V+ΔV)-U-V=ΔU+ΔV

Дадим аргументу x приращение Δx, тогда U и V получат наращенные значения. U+ΔU, V+ΔV. y=U*V. y+Δy=(U+ΔU)(V+ΔV)=UV+ΔUV+UΔV+ΔUΔV

Δy=ΔUV+UΔV+ΔUΔV

( )' = * '

Следствие 2: Производная произведения нескольких функций равна сумме произведений каждого на все остальные ( )' = ' + ' + 'Доказательство:

36

Дадим аргументу x приращение Δx, тогда Z, O, V получат наращенные значения Z+ΔZ, O+ΔO, V+ΔV.

y*Δy=(Z+ΔZ)(O+ΔO)(V+ΔV)=(ZO+ΔZO+ZΔO+ΔZΔO)(V+ΔV)=

=ZOV+ΔZOV+ZΔOV+ΔZΔOV+ZOΔV+ΔZOΔV+ZΔOΔV+ΔZΔOΔV

Δy=ΔZOV+ZΔOV+ΔZΔOV+ZOΔV+ΔZOΔV+ZΔOΔV+ΔZΔOΔV

5)Производная деления выглядит так: ( )' = ' −2'

Доказательство:

Дадим аргументу x приращение Δx, тогда U и V получат наращенные значения. U+ΔU, V+ΔV. y/Δy=(U+ΔU)/(V+ΔV), Δy=(U+ΔU)/(V+ΔV)-U/V

Производная сложной и обратной функции

Пусть переменная y - функция от переменной u, y=f(u), а u - функция от x. u=φ(x), y=f(φ(x)) - сложная функция.

Теорема о производной сложной функции: Если функции y=f(u), u=φ(x) -

дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу u, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной x: y’=f’(u)*u’.

37

Доказательство: x, Δx≠0, тогда Δy и Δu получат приращения. Предположим, Δu≠0: в

на промежутке X. Если y рассматривать как аргумент, а x - как функцию, то новая функция = φ( ) является обратной к данной u, как можно показать, непрерывной на промежутке Y.

Производные основных элементарных функций

38

Пример: Вывод y=sinx

Производная параметрической заданной функции

Определение: Логарифмическая производная - производная функции от логарифма этой функции.

39

В соответствии с этим правилом дифференцирования сложной функции получаем:

( )' = ' ( > 0)

Предварительное логарифмирование функции облегчает её дифференцирование в некоторых случаях (например, если функция представляет из себя произведение

Теорема (связь между непрерывностью и дифференцируемостью): Если функция y=f(x) дифференцируема в точке 0, то она в этой точке непрерывна.

Производная неявной функции

Определение: Функция y(x) называется неявной, если связь между y и x задана уравнением F(x,y)=0, из которого нельзя выразить y(x) в явном виде.

Для нахождения производной от неявной функции следует уравнение, задающее связь между y и x, продифференцировать, считая y функцией от x, а затем y’ из полученного уравнения.

Пример: 2 + 2 − 1 = 0, 2 + 2 * ' = 0|: 2+ * ' = 0, ' =−

40