МатематическийАнализ1семестр

Доказательство: 1, 2 . Пусть 1 < 2 (!) ( 1) > ( 2). В [ 1, 2] для y=f(x) выполняются условия теоремы Лагранжа: ( 2) − ( 1) = '(ξ) * ( 2 − 1), 1 < ξ < 2

Так как по условию 2 − 1, то ( 2 − 1) > 0, по условию '(ξ) < 0 ( 2) < ( 1) Геометрическая интерпретация этих теорем:

'( ) = = α > 0,

'( ) = = α =− β ,

Вывод: Если касательная к кривой в некотором промежутке направлены под острыми углами - возрастает, под тупым - убывает.

Определение: Точка 0 называется точкой максимума функции y=f(x), если в некоторой окрестности точки 0 выполняется неравенство ( ) ≤ ( 0)

Определение: Точка 1 называется точкой минимума функции y=f(x), если в некоторой окрестности точки 1 выполняется неравенство ( ) ≥ ( 1)

51

Максимум и минимум можно назвать экстремумами.

Все экстремумы носят локальный характер, то есть наибольшее/наименьшее значение функции на всём промежутке могут с ними не совпадать.

Необходимое условие экстремума: чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке 0 необходимо, чтобы её производная была равна нулю или не существовала. Обоснование: если в точке 0 дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполнена теорема Ферма и производная в этой точке равна нулю.

Замечание: Если производная в какой-то точке не существует, но сама функция в этой точке определена, то в этой точке возможен экстремум.

убывает.

2

2. = 3 , ' = 323 ≠ 0, = 0

Определение: Точки, в которых производная равна нулю или не существует,

называются критическими или стационарными.

Если экстремум есть, то он в стационарной точке, но не наоборот.

Теорема (Первое достаточное условие экстремума): Если при переходе через точку 0

производная дифференцируемой функции y=f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка 0 - точка максимума функции y=f(x). Если с минуса на плюс, то 0 - точка минимума.

Доказательство: Пусть производная меняет знак с плюса на минус в некотором интервале ( ; 0), '( ) > 0. ( 0; ), ’( ) < 0. Тогда по теоремам о монотонности:

52

Доказательство: Пусть производная меняет знак с минуса на плюс в некотором

непрерывна в точке 0.

Пример: = ( − 1)3, ' = ( − 1)3 + 3 ( − 1)2 = ( − 1)2( − 1 + 3 ) = 01 = 1, 2 = 1/4

(1/4) = 1*(−27)4*64 =− 25627

21.11.2025

Схема исследования функции на экстремумах: 1. Найти производную.

53

2.Найти критические точки функции (выбрать те, которые входят в область определения функции).

3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4.Найти экстремумы функции.

Теорема (Второе достаточное условие экстремума): Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна 0 в точке 0, а вторая производная в этой точке больше 0, то в этой точке функция - минимум. Если вторая производная меньше 0, то 0 - максимум.

Доказательство: (для минимума)

Пусть '( 0) = 0, 0 ( ; )

Пусть ''( 0) > 0 ( '( 0))' > 0, ( ; ) ( ) ↑, '( 0) '( ) < 0, ( ; 0), '( ) > 0, ( 0; ) ( ) меняет знак с минуса на плюс,

значит, 0 - точка минимума. Что и требовалось доказать. Доказательство: (для максимума)

Пусть '( 0) = 0, 0 ( ; )

Пусть ''( 0) < 0 ( '( 0))' < 0, ( ; ) ( ) ↓, '( 0)'( ) > 0, ( ; 0), '( ) < 0, ( 0; ) ( ) меняет знак с плюса на минус,

значит, 0 - точка максимума. Что и требовалось доказать. Замечание: Теорема утверждает, что если вторая производная не равна нулю, то в

точке 0 есть экстремум. Обратное неверно. То есть, экстремум может быть и при

54

равенстве нулю второй производной. При равенстве нулю мы используем первое достаточное условие.

Пример: = 4, ' = 4 3 = 0, = 0, '' = 12 2 = 0, = 0 второе условие не

работает, нужно первое условие: , (0) = 0

Производитель реализует свою продукцию по цене p за единицу, а издержки при этом

Второй способ: 1 условие

Наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке

Согласно теореме Вейерштрасса если y=f(x) непрерывна на [a;b], то принимает на нём наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.

55

( ) - наибольшее значение f(x), ( 1) - наименьшее значение. Для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке рекомендуется пользоваться схемой.

1.f’(x)

2.f’(x)=0 или не существует f’(x), значит критические точки принадлежат области определения функции.

3.Найти значения в них и на концах отрезка и выбрать наибольшее и наименьшее значения.

Замечание: Если функция y=f(x) непрерывна на интервале (a;b), то она может не принимать на нём наибольшее и наименьшее значения. В частном случае если дифференцируемая функция (a;b) имеет лишь одну точку максимума или минимума, то наибольшее или наименьшее значение совпадает с точкой максимума или минимума этой функции.

Пример: = 2 − 6 + 5, (1, 2)

56

1 - минимальное значение. В (1,2) нет наибольшего или наименьшего значений. Если рассматривать всю числовую ось, то (3) =− 4 (− ∞, ∞)

27.11.2025

Выпуклость. Точки перегиба

Определение: Функция y=f(x) называется выпуклой вниз на промежутке X, если для

Определение: Функция y=f(x) называется выпуклой вниз на промежутке X, если её график на этом промежутке и если график этой функции расположен не ниже касательной, проведённой в любой точке графика.

Определение: Функция y=f(x) называется выпуклой вверх на промежутке X, если для

57

Определение: Функция y=f(x) называется выпуклой вверх на промежутке X, если её график расположен не выше касательной, проведённой к графику в любой точке этого промежутка.

Теорема: Функция выпуклая вниз (вверх) на промежутке X тогда и только тогда, когда её первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает). Геометрический смысл теоремы: Если '( ) ↑ (↓) на промежутке X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику. Это и означает выпуклость вниз (вверх).

Теорема: Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на промежутке X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Доказательство: Пусть f’’(x)>0 на X

58

’’( ) = ( ’( ))’ > 0 '( ) ↑ , значит на основании предыдущей теоремы выпукла на X, аналогично второй случай:

’’( ) = ( ’( ))’ < 0 '( ) ↓ ∩

Определение: Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вверх, и вниз.

Из вышесказанного следует, что точки перегиба - это точки экстремума первой производной.

Теорема (Необходимое условие перегиба): Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю ''( 0) = 0.

Определение: Точки, в которой вторая производная функции равна нулю, называются

критическими (стационарными) точками второго рода.

Теорема (Достаточное условие перегиба): Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет знак, то эта точка есть точка перегиба этой функции.

Геометрический смысл точек перегиба: Пусть в окрестности точки 1 функция выпуклая вверх и график её лежит ниже касательной, проведённой к её точке. В окрестности точки 2 функция выпуклая вниз. График лежит выше касательной в этой точке. В точке перегиба 0 касательная разделяет график - он лежит по разные стороны касательной.

59

Замечание: Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она является точкой перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1.Найти вторую производную.

2.Найти точки, где второй производной нет или она равна нулю, но существует функция.

3.Исследовать знак второй производной слева и справа найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4.Найти значения функции в точках перегиба.

60