Добавил:

daner270 Зам Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

МатематическийАнализ1семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2026

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

1. = 0: α1( ) - величина более высокого порядка малости чем α2( ). α1( ) =◦ α2( )

lim

0 2

=◦

Пример:

→0

◦

→0

= ∞: α2( ) =

α1( )

Пример:

lim

−1

= lim

= ∞

( −1)3

= 0

( −1)2

БМВ

→

≠ 0, :

одного порядка малости

Пример:

lim

2 2+3

lim

(2 +3)

= 3/5 ≠ 0

5 − 2

(5− )

→

= 1:

эквивалентны

α1( )~ →0α2( )

Пример:

lim

= lim

(2 +1)

1 2

+ ~ →03

3 2+

(3 +1)

→0

ББВ: рассмотрим две ББВ: β1( ), β2( ) - ББВ при → 0(∞)

lim

β1( )

β2( )

1.→ 0(∞)

более высокого порядка роста чем

β2( )

= ∞: β1( )

Пример:

lim

2+ +1

∞

lim

2(1+1/ +1/ 2)

= ∞

∞

(1+3/ )

→

∞

→

∞

Значит,

+ + 1

более высокого порядка роста чем

+ 3

= 0: β2( )

более высокого порядка роста чем

β1( )

= 0

Пример:

lim

2+1

(1+1/ 2)

= БМВ

→∞

lim

∞∞

= ∞

→

∞

≠ 0, : β1( ), β2( )

одного порядка

Пример:

lim

2 +1

∞

= lim

(2+1/ )

= 2/3 ≠ 0

3 −5

∞

(3−5/ )

→

∞

→

2 + 1

- ББВ одного

порядка∞

3 − 5

4. = 1: β1( )~→0β2( ) эквивалентны

Пример:	lim	22+3 −8	=	∞	=	lim	22(1+3/2 −8/22)	= 1
	lim	22	=	∞	=	lim	22	= 1
	→∞					→∞

То есть, бесконечно большой многочлен эквивалентен своей старшей степени с коэффициентом.

Примечание автора: o-малое и O-большое являются множествами всех функций, которые стремятся быстрее или не быстрее чем заданная функция.

						Замечательные пределы
Определение: Первый замечательный предел:							lim	= 1 ~→0
Пример: lim				=	ББВОгр	= 0	→0
Пример: lim				=	ББВОгр	= 0	→0
	→	∞
		∞
			порядка роста по сравнению с y=sinx

y=x - высшего

Как вывести:

1.Окружность радиуса R с центром O. Пусть OB - подвижный радиус

2.Касательная AC. Соединим A и B хордой, x - угол

3.Рассмотрим треугольники , : < сектор <

4.= 12 2 < 12 2 < 12 2

< <

1 > >

lim = 1,	lim 1 = 1
→0	→0

По теореме о сжатой функции: lim = 1

→0

23.09.2025

Определение: Второй замечательный предел - число e - предел числовой

последовательности = lim

(1 +

) ≈ 2. 718281828

Другие обобщённые виды:→∞

Пусть

= → 0, =

, тогда lim (1 + )

→0

lim ((1 + )

) = lim (1 + )

→0

lim (1 + )

→0

lim (1 +

) =

→∞

Доказательство:

Рассмотрим lim

(1 +

) = lim

(1 + 1/(

)) = [ = / → ∞, = , ] =

→∞

lim ((1 +

) ) =

∞

Рассмотрим

lim (1 + )

= . Пусть = , → 0, lim (1 + ) =

→

1→0

→0

lim ((1 + )

)

→0

y=e^x экспонента

Пример: lim (1 − 2/ ) = −2

→∞

lim (1 + 4 )1/ = 4

→0

lim (1 + /2)1/ =

→0

Виды неопределённостей

Определение: Дробь, у которой числитель и знаменатель - БМВ, стремящиеся к нулю,

называют неопределённостью вида

раскрытие этой неопределённости

Нахождение предела такой дроби -

∞∞

[+ ∞ − ∞] [0 * ∞]

[

0∞

] [

1∞ ∞0 00

Эквивалентные] [ ] [ ]

функции

При → 0:

~ ~ 1 − ~

− 1~ , > 0 ~1/ ~ ~

− 1~ (1 + )~ (1 + )~

(1 + )

− 1~

При

( ) → 1: ( )~ ( ) − 1

Пример:

~ −

при

→ 1

Бесконечно большой многочлен эквивалентен своей старшей степени с коэффициентом, а бесконечно малый многочлен эквивалентен своей младшей степени с коэффициентом

При	→ ∞:	−1			ББВ
	+ −1		+... + 0~
При	→ 0:	−1				БМВ при k<n
				~
	+ −1		+... +

Доказательства:

1. Для БМВ:

+ −1

−1

+...+

−1

lim

−1

+... + 1 = [БМВ + БМВ +... + 1] = 1

2.→

ББВ:

→

Для0

−1 −1

+ −1 −1+...+ 0

lim

1 +

+... +

= [1 + БМВ +... + БМВ] = 1

3.→

→

Для∞

тангенса: (по теореме∞)

lim

* lim

= 1

4.→

→

Для бинома Ньютона: C - число сочетаний

= !( − )!

(1+ ) −1

1 + 1*1 −1* + 2*1 −2+...+ −1

−1

lim

+... +

= 1

→0

26.09.2025

Теорема: Пределы от эквивалентных функций равны.

= ( ) → 0(∞) ( )~→0 ( )

lim ( ) =

lim

( )

( )( )

= 1

Доказательство: (примечание:

→ 0 )

→ 0

lim

( ) = lim ( ) * ( )/ ( )

= lim ( )

(( ))

= lim ( )

→

Следствие: При вычислении предела эквивалентности функциями можно заменять сомножители, числители и/или знаменатель и даже слагаемые алгебраической суммы, если при этом не получится тождественный ноль

Пример:

	1( )		1( ) 1( ) 2( )			1( )
lim	2( )	= lim	2( ) 1( ) 2( )	=	lim	2( )
→ 0		→ 0			→ 0
1( )~→0 1( ), 2( )~→0 2( )
lim	( 1( ) − 1( )) = lim ( 2( ) − 2( )) ≡ 0 замена неравносильна
→ 0			→ 0

Определение:

Тождественный

ноль

при всех

значениях

(например,

−

≡ 0

Пример:

2 −

lim

2 −

lim

= 1

−1

→0

lim

= 1/2

2 −

(1− )

→0

−1

→0

−1

→0

−5 − 1~ →55

(1/ )~ →∞1/

2 ~2 →02

4 2

2 −4 2+1

lim

2 2+3 −8

lim −

2 2

=− 2

→∞

lim

= ∞

−3 2

→0

Непрерывность функции

Определение:

Функция

y=f(x)

называется

непрерывной

точке

если она

удовлетворяет условиям:

1. Определена в точке

(

)

lim

< ∞

)

предел функции (

2. Имеет конечный

( 0)

(

lim ( ) = ( 0)

)

точке

3. Предел равен значению функции в

→

каждой точке некоторого промежутка

Определение: Функция y=f(x) непрерывная в →

называется непрерывной на этом промежутке.

Определение:

Функция

y=f(x)

называется

непрерывной

точке

если она

соответствует

определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента 0

бесконечно малое приращение функции.

lim

∆ = 0

∆ = − 0, ∆ = ( ) − ( 0), ( 0) и

∆ →0

Условия/свойства функций непрерывности в точке:

1. Если ( ) и φ( ) непрерывны в 0, то их сумма ( ) +φ( ), произведение ( ) * φ( ) , φ(( )) , φ( ) ≠ 0 - непрерывные функции в 0

Пример:

, φ( ) = −

непрерывны при

≥ 0

( ) =

Значит

+ и

непрерывны при

≥ 0

непрерывны при

> 0

2.Если y=f(x) непрерывна в точке 0 и ( 0) > 0, то существует такая окрестность точки 0, в которой f(x)>0

3.Если y=f(u) непрерывна в 0, а = φ( ) непрерывна в 0, то = (φ( )) непрерывна в 0

Пример: = , ( ) = − непрерывна для любого u, = − непрерывна в 0,

значит = для любого ≥ 0

(0) = 0 lim = 0		Точки разрыва
(0) = 0 lim = 0		< ∞ =	− непрерывно справа
	→
Определение:0+Функция y=f(x), определённая в				некоторой		точке		при
называется	непрерывной в точке 0		слева, если	lim	( ) = ( 0) (		то есть, все три
	непрерывной в точке 0			lim	( ) = ( 0) (		0		≤ 0
условия соблюдены).				→ 0−
02.10.2025
Определение: Функция y=f(x), определённая в				некоторой		точке	0	при	≥ 0
называется непрерывной в точке 0 справа, если				lim	( ) = ( 0).		0		≥ 0
				→ 0+
									27

Пример:

lim ( ) = (0)

=− 1, (0) =− 1 непрерывная слева

→ 0−

lim

( ) =+ ∞ ≠ (0)

Пример:

→ 0+

lim

( ) =− 1

≠ (0) =− 2

точке

x=0

нет

непрерывности слева

→0−

Теорема: Пусть функция y=f(x) определена в некоторой

окрестности

точки

непрерывна в этой точке слева и справа. Тогда функция y=f(x) непрерывна в

Доказательство: Пусть существует

lim

( ) = ( 0);

lim

( ) = ( 0) по

( ) = ( 0)

→

0−

→

определению f(x) непрерывна в точке

Замечание: Справедливо и обратное: если функция непрерывна в точке, то она

непрерывна и слева, и справа

Определение: Если функция y=f(x) определена в окрестности точки

и существуют

оба

конечных

односторонних

предела

lim

( ),

lim

причём

( )

lim

( ) ≠ lim

( ), то точка 0 называется

0−

точкой разрыва 1-го рода (скачком).

→

→ 0+

→ 0−

Пример:

lim

( ) = 2

< ∞,

lim

( ) =− 1 < ∞ не равны. x=0 - точка разрыва

(0) =− 1,

скачок0+ )

→

0−

1-го рода (

→

Определение: Если функция y=f(x) определена в окрестности точки

и существуют

оба

конечных

односторонних

предела

lim

( ),

lim

причём

( )

lim ( ) =

lim

( ),

0−

но не равны значению

функции в этой точке. Тогда

→

0−

точка разрыва 1-го рода (устранимый предел).

Пример:

Мы

можем

теоретически дополнить

недостающее

значение

lim

( ) = lim

Пусть существует f(1)

( ) = 2

→1+

→1−

f(1)=0

Определение: Точка 0 - точка разрыва 2-го рода функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует или бесконечен.

Пример:

1.	lim	( ) =	lim	( ) =+ ∞
2.	→0+	( ) =	→0−
	lim	( ) =	4, lim ( ) =− ∞
3.	→3+		→3−
	lim	( ) =+ ∞,		lim ( ) = ∞
	→−5+			→−5−

Свойства непрерывных функций. Теоремы

Первая теорема Больцано-Коши: Если функция y=f(x) непрерывна на [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то существует точка 0 ( , ), в которой функция обращается в нуль ( 0) = 0.

Вторая теорема Больцано-Коши: Если функция y=f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)=A, а f(b)=B (для определённости A<B), тогда каково ни было бы число C (для примера

A<C<B), существует число c (a<c<b), такое что f(c)=C.

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
01.06.20263.49 Mб0МатематическийАнализ1семестр.pdf
#
01.06.20264.18 Mб0МатематическийАнализ2семестр.pdf
#
01.06.2026666.35 Кб0МатериалыДляКТ1.pdf
#
01.06.2026649.61 Кб1МатериалыДляКТ2.pdf