МатематическийАнализ1семестр

Добавил:

daner270 Зам Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный экономический университет (бывш. ФИНЭК, ИНЖЭКОН)

Предмет:

Математический анализ

Файл:

| | ≤ − ≤ ≤

| | ≤ − ≤ ≤

Определение: Число a называется пределом числовой последовательности {

для любого сколь угодно малого числа ε>0 существует такой номер N,

зависящий от

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.06.2026

Размер:

3.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Пример: y=e^(cos(x^2)) y=e^u u=cos(t) t=x^2

3. Функция явная, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной.

Пример: y=x^2+x+1

Функция y аргумента x неявная, если она задана уравнением f(x,y)=0, неразрешённой относительно зависимой переменной.

Пример: x^2+y^2-4=0

4. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгоритмических действий и конечного числа операций образования сложной функции называются элементарными.

Пример:	=		+	2 − 1	- элементарная, y=\|x\| и y=[x]- неэлементарные
		52

09.09.2025

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические

(трансцендентные).

Алгебраическая функция - над аргументами проводится конечное число алгебраических действий.

Пример: Целая рациональная функция (многочлен), дробно-рациональная, отношение двух многочленов, иррациональная (в составе операций корень).

Всякая неалгебраическая функция - трансцендентная.

Пример: Показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая.

Пределы и непрерывность Предел числовой последовательности

Определение: Числовая последовательность - функция f(n) задана на множестве натуральных чисел { }.

Примечание автора: Числовая последовательность - это функция f:N→R. Значение функции f(n) обозначают { } и называют n-м членом последовательности.

Саму последовательность обозначают { } или ( ).

Убывающая (невозрастающая), если для всех её членов выполняется:

( ≥ +1) > +1

Возрастающая (неубывающая), если для всех её членов выполняется:

( ≤ +1) < +1

Определение: Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (m), что каждый элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству:

≤M ( ≥m)

Определение: Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и

сверху, и снизу:

(N=N(ε)), что для всех членов последовательности с номерами n>N выполняется

неравенство			\| − \| < ε		lim = ε > 0 (ε): > \| − \| < ε
Предел
		последовательности			→	предела+∞
	0 1 0 1 0 1… - для
{ }				колебаний			нет

Определение: Последовательность, имеющая предел, - сходящаяся, иначе

расходящаяся.

Пример: Доказать, что

lim

= 0:

1) |

-0|<

→∞

2) Например, ε = 0. 01, > 100 = 100, = 1ε

Замечание: Из определения предела последовательности следует, что в ε-окрестность точки a начиная с некоторого номера попадают все члены последовательности. Вне ε-окрестности может быть лишь конечное число данной последовательности.

Пусть y=f(x) определена на множестве X, 0:x X ( )

Определение: Число A называется пределом функции f(x)=y в точке 0 (x→ 0), если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдётся δ(ε) > 0, что для всех x из X и таких, что 0 < | − 0| < δ ( ≠ 0) выполняется неравенство | ( ) − | < ε.

lim			( ) =
		0							\| − 1\| < δ
Главное, чтобы выполнялось
	→
lim			( ) = ε > 0 δ(ε) > 0: , 0 < \| − 0\| < δ \| ( ) − \| < ε
		0
Пример: (!)					lim (2 + 3) = 5				\|2x+3-5\|<	ε
	→				lim (2 + 3) = 5					ε
1. Пусть				→1			0.
2. \|2x+3- ε = 0. 1, 2 − 2 <							0.	1, < 1. 05
2. \|2x+3- ε = 0. 1, 2 − 2 <								1, < 1. 05
			ε		, 2\|x-1\|<	ε δ = 2ε
			5\|<		, 2\|x-1\|<

Замечание: Определение предела не требует существования функции в точке 0, то

есть мы предполагаем, что x→ 0, но не достигает его.

Замечание: Если при x→

x принимает лишь значения меньше или лишь значения

этом f(x)→A, то говорят об односторонних пределах f(x). Слева

большие

, и при

lim

0, справа

lim

( ) =

( )

→

0−0

→

0+0

Односторонний предел: A - правосторонний предел f(x) в точке

если для него

ε > 0 δ(ε) > 0: : ( 0, 0 + δ)

Выполняется неравенство |f(x)-A|<

lim

( ) =

→

0 δ(ε) > 0: ( 0 −

δ, 0) | ( ) − | < ε

Левосторонний предел:

lim

( ) = ε >

→ 0−

( ) = ε >

0 > 0:( , | | > ) | ( ) − | < ε

lim

→±∞

( ) = ε >

0 > 0: , > | ( ) − | < ε

lim

→+∞

( ) = ε >

0 > 0: , <− | ( ) − | < ε

lim

→−∞

0 δ > 0: , 0 < | − 0| < δ ( ) >

lim ( ) =+ ∞ >

→ 0

Бесконечно малые величины

Определение:

- БМВ при x→

или

, если её предел равен нулю.

связь БМВ с пределами функций):

Теорема (

α( )

→ ± ∞Если f(x) имеет при x→

или

конечного числа A и

предел, равный A, то её можно представить в виде суммы

→ ± ∞

бесконечно малой

α( )

в той же окрестности

( ) = α( ) +

Доказательство:

< | − 0| < δ

Докажем

для

x→ 0

lim ( ) = ε >

0 δ(ε) > 0: , 0

обозначим

| ( ) − | < ε

→

f(x)-A=

тогда

| α( )| < ε lim

α( ) = 0

α( )

→ 0

( ) = α( ) + . Аналогично → ± ∞. Что и требовалось доказать.

Примечание автора: Идеи доказательства: 1. Вспоминаем определение предела 2. Добавляем БМВ 3. Переходим к пределу.

Верна и обратная теорема: Если f(x) можно представить как сумму числа A и бесконечно малой α( ) при x→ 0 или → ± ∞, то число A - предел функции в той же окрестности.

Доказательство: Пусть → 0, ( ) = + α( ) α( ) = ( ) −

БМВ 2. Вспоминаем определение БМВ 3. Переходим к пределу.

Свойства БМВ:

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин - бесконечно

малая величина (a+b или a+(-b))

Доказательство: Рассмотрим две бесконечно малые величины

при x→

или

→ ± ∞

. Это

означает,

что

. ε > 0 ( ]

) δ

> 0, δ

> 0

:α( )

β( )

, | −

| < δ

В качестве

для

| − 0| < δ2 |α( )| <

, |β( )| <

δ = {δ1, δ2} | − 0| < δ

α( )

β( )

|α( )| + |β( )| <

= ε ε >-

0 δ(ε) > 0: , 0

< | − 0| < δ

|α( ) + β( )| < ε α( ) +

β( )

2) Произведение БМВ на ограниченную функцию (в том числе постоянную) - БМВ.

Доказательство: Рассмотрим БМВ

при x→ и ограниченную функцию f(x). Так

существует такое положительное число M, что для

как функция

( )

ограниченная, то

α( )

всех x

выполняется неравенство |f(x)|<M.

0, что для всех

Так как функция

α( )

- БМВ, то существует такая

–окрестность точки

x из этой

окрестности выполняется неравенство

|α( )| < ε

Рассмотрим

функцию

α( ) * ( )

оценим

её

модуль

| α( ) * ( )| = | α( )| * | ( )| <

* = ε

Итак,

| α( ) * ( )| < ε

, а тогда

α( ) * ( )

– БМВ. Теорема доказана.

Частное от деления БМВ на функцию, предел которой отличен от нуля - БМВ.

Доказательство: Рассмотрим БМВ α( ) при x→ 0 и функцию lim

( ) = ≠ 0. Так

положительное число m, что для

как функция

( )

ограниченная, то существует такое

→

всех x

0 < | − 0| < δ1

выполняется неравенство |f(x)|>m>0.

| |

| ( ) − | <

| ( )| ≥ | | − | ( ) − | >

| |

=: > 0

|f(x)|>m

Пусть

ε > 0

. По определению БМВ для

α( ) δ

> 0: 0

< | − | < δ

: |α( )| < ε

Тогда

α( )

при

имеем

α( )

0 < | −

< (δ

, δ

)

( )

≤

= ε

Значит,

α( )

то есть деление является БМВ. Теорема доказана.

lim

( ) = 0

Пример: → 0

−3

( −3)

= 1/6

lim

2−9

lim ( −3)( +3)

→3

Бесконечно большие величины

ББВ

если

для

сколь

угодно

большого

Определение:

f(x)

при

→ 0будет,

верно неравенство:

| ( )| >

> 0 δ( ) > 0: , 0 < | − 0| < δ

То есть предел f(x) равен

определяется ББВ при

Аналогично

± ∞

→ ± ∞

Пример:

1.lim =+ ∞, - ББВ при → + ∞

→+∞

2. − - БМВ при → + ∞,				lim − =	∞1	= 0
3. tgx - ББВ,	limπ			→+∞
	limπ		=+ ∞
	→	2

Свойства ББВ:

1.Произведение ББВ на функцию, предел которой отличен от 0, есть ББВ.

Пример: ± ∞ * =± ∞, ( ≠ 0)

2.Сумма ББВ и ограниченной функции - ББВ.

3.Частное от деления ББВ и функции, имеющей предел, - ББВ.

Теорема (Cвязь ББВ и БМВ): Если α(x) - БМВ при → 0 или →±∞, то ( ) = α(1 ) -

ББВ при → 0 или →±∞ в той же окрестности. И обратно, если f(x) - ББВ, то

α( ) = 1

( )

Другими словами, величина обратная ББВ - БМВ. Обратная БМВ - ББВ.

11.09.2025

Доказательство:

1. (!) Если

α( )

- БМВ, то

( ) =

- ББВ

Из

α( )

определения

|α( )|

> ε

Пусть

= > 0 > 0 δ( ): , 0 < | − | < δ | ( )| > ε

|α( )|

= |

| = | ( )| = | ( )| >

- ББВ

α( )

2. (!)

α( ) =

- БМВ

( )

> 0 δ(ε) > 0: , 0

< | − 0| < δ ( ) > ε α( ) =

(1 )

1ε

- БМВ.

] 1ε = > 0 > 0 δ( ): ,0 < | − 0| < δ | ( )| > ε α( )

Примечание автора: Идеи 1 пункта доказательства: 1. Берём определение БМВ 2. Переходим к обратной величине 3. Берём M=1/ε и получаем ББВ. Идеи 2 пункта: 1. Берём определение ББВ 2. Переходим к обратной величине 3. Берём ε=1/M и получаем определение

БМВ.

Или кратко ∞1 = 0, 10 = ∞, 0+1 =+ ∞, 01− =− ∞

Основные теоремы о пределах

Пусть f(x) и φ( ) - функции, для которых существуют пределы при → 0(∞):

	lim		( ) = ,	lim φ( ) =
1.→		0(∞)		→	0(∞)
		0(∞)			0(∞)
	Функция не может иметь более 1 предела
Доказательство: Предположим, что у функции 2 разных предела
lim ( ) = → ( ) = + α( ), lim ( ) = → ( ) = + β( )
	→	0						→	0
		0							0
Тогда на основе ранее доказанной теоремы:
+ α( ) = + β( )						,	− = β( ) − α( )			−
+ α( ) = + β( )							− = β( ) − α( )
Это неравенство невозможно, так как по свойству бесконечно малых											- БМВ, что
невозможно. Значит, предел единственный.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов алгебраических функций.

lim ( ( ) ± φ( )) = ±

→ 0

Доказательство:

( ) = + α( ), φ( ) = + β( ). Сложим почленно:

( ) + φ( ) = + α( ) + + β( ) =( + ) + (α( ) + β( )) = ( + ) + δ( )lim ( ( ) + φ( )) = + . Аналогично для минуса.

→ 0

3.Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих

функций

lim			( ( ) * φ( )) = *
В→		0

	частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела
lim			* ( ) = * lim ( ) = * (Предел постоянной функции и есть эта
→ 0			→ 0

константа)Доказательство:

( ) = + α( ), φ( ) = + β( ). Умножим почленно:

( ) * φ( ) = ( + α( )) * ( + β( )) = + α( ) * + β( ) * + β( ) * α( )lim ( ( ) * φ( )) = * .

→ 0

4.Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при

условии, что предел делителя не равен нулю)

lim

( ( )/φ( )) = / ( ≠ 0)

→

Доказательство:

( ) = + α( ), φ( ) = + β( ). Разделим

почленно:

+α( )

α( )

(

( )

)

+β( )

lim

φ( )

Пример:

→ 0

lim

= lim

= 1

(однако

пределы

отдельно для тангенса и синуса равны

→

нулю0 )

lim ( ) = ,

lim

φ( )= 0

lim

(φ( )) =

→

Доказательство:

φ( ) = + β( ),

α( ) → 0, β( ) → 0, → 0

Пусть ( ) = + α( ),

(φ( )) = + α(φ( )) = + α( + β( ))

Так как

β( ) → 0, α( ) → 0, →

, то

α( + β( )) → 0

. Значит,

lim

(φ( )) =

Пример:

lim

1 = 0

→ 0

→0

lim

φ( )

. Предельный переход в неравенство

( ) < φ( )

lim

( ) ≤

Доказательство: → 0(∞)

→ 0(∞)

Пусть ( ) = + α( ), φ( ) = + β( ), для всех x выполнено ( ) < φ( ). Тогда

+ α( ) < + β( ) − < β(,

) − α( )

, значит

− ≤

lim

(β( ) − α( )) = 0

так как

β( ) − α( ) → 0

≤

→ 0(∞)

Замечание: В теоремах о пределах предполагается существование пределов функций f(x) и φ( ), из чего следует заключения о значениях пределов суммы, произведения или частного функций. Но из существования предела суммы, произведения или частного функций ещё не следует, что существуют пределы самих слагаемых, сомножителей, делимого и делителя.

Пример: lim	1	= 0, lim	1	= 0,		lim
→∞		→∞				→∞

17.09.2025

Признак существования предела числовой последовательности Теорема: Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема (Теорема о пределе сжатой/зажатой функции или двух милиционерах):

Если в некоторой окрестности точки

(или при достаточно больших x) функция f(x)

заключена между функциями

, имеющими одинаковый предел A, то и f(x)

имеет предел A.

lim

φ( ) ≤ψ( )

lim ( ) =

lim

φ( ) =

ψ( ) = , φ( ) ≤ ψ( )

→

0(∞)

→

0(∞)

→

0(∞)

Доказательство:

lim

φ( ) =

φ( ) ≤ ( ) ≤ ψ( )

lim

ψ( )

→

0(∞)

→

0(∞)

Пусть	lim ( ) = : ≠
	→ 0(∞)

Тогда по теореме о переходе в неравенство: φ( ) ≤ ( ) ≤ , ( ) ≤ ψ( ) ≤ B=A, что и требовалось доказать.

	Сравнение БМВ и ББВ
БМВ: рассмотрим две БМВ	α1( ), α2( )	в окрестности точки	0	. Если	α1( )	=
	α1( ), α2( )		0		lim α2( )	=
					→ 0

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
01.06.20263.49 Mб0МатематическийАнализ1семестр.pdf
#
01.06.20264.18 Mб0МатематическийАнализ2семестр.pdf
#
01.06.2026666.35 Кб0МатериалыДляКТ1.pdf
#
01.06.2026649.61 Кб1МатериалыДляКТ2.pdf