АлгебраИГеометрия2семестр
.pdf
Алгебра и геометрия - 2 семестр
04.02.2026
Разные уравнения прямой на плоскости
1. ( − 0) + ( − 0) = 0, A и B - координаты нормального вектора
( , ), ( 0, 0).
2. Ax+By+C=0 общее уравнение прямой |
|
|
|||||
3. |
−0 |
|
−0 |
= |
, каноническое уравнение прямой, |
|
, пропорциональные |
|
|
||||||
|
|
= |
|
= ( , ) |
|||
координаты.
4. {=0+ , . =0+
5.y=kx+b,k=tgα, b - начальная ордината.
6.+ = 1, уравнение прямой в отрезках. Если прямая проходит через начало
координат, то не работает.
7. * α + * β − = 0, нормальное уравнение прямой.
1
|
|
|
Плоскость в пространстве |
|||||
1. |
( − и) + ( − |
) + ( − |
) = 0 |
, плоскость, которая проходит через |
||||
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
( 0, 0, 0) |
перпендикулярна |
( , , ) |
. |
|
||||
|
|
|
|
|||||
2.Ax+By+Cz+D=0.
3.+ + = 1.
4.* α + * β + * γ − = 0.
Тождество (свойство направляющих косинусов): 2α + 2β + 2γ = 1.
2
( 1, 1, 1), ( 2, 2, 2), a не параллельно b. Существует плоскость, которая эти векторы содержит, но нам нужен вектор нормали. = × векторное произведение (это выражение можно сокращать. Пример: 5x+5y-10z=0 можно преобразовать в x+y-2z=0).
Плоскость, построенная на векторах , , имеет вектор нормали = × .
Угол между двумя плоскостями никогда не может быть тупым.
1 + 1 + 1 + 1 = 0, 2 + 2 + 2 + 2 = 0
1( 1, 1, 1), 2( 2, 2, 2), * = | || | * φ
φ = |
| 1 2+ 1 2+ 1 2| |
|
12+ 12+ 12 22+ 22+ 22 |
Прямая в пространстве
1. { 1 + 1 + 1 + 1=0, по аксиоме плоскости пересекаются по прямой. Бесконечно много
2 + 2 + 2 + 2=0
решений.
2. |
|
− 0 |
|
− 0 |
|
− 0 |
|
|
|
, канонические уравнения. |
|
= |
= |
, ( , , ), ( 0, 0, 0) |
|||||||
3. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Параметрические |
уравнения |
|
|||||||
− 0 |
|
|
− 0 |
|
− 0 |
|
− 0 |
|
|
− 0 |
|
− 0 |
|
|
|
|
|
||
= |
= |
, |
= |
= |
, 1( 1, 1, 1), 2( 2, 2, 2) |
||||||||||||||
1 |
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
||||||||||||
φ = |
|
| 1 2+ 1 2+ 1 2| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
12+ 12+ 12 |
22+ 22+ 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3
Векторное произведение (из системы в каноническое).
Угол между плоскостью и прямой
Ax+By+Cz+D=0
−0 |
= |
−0 |
= |
−0 |
|
|
|
Здесь нужен синус.
α = |
| + + | |
|
2+ 2+ 2 2+ 2+ 2 |
|
|
|
Полезные формулы (для решения задач) |
||
1. |
Условие перпендикулярности двух плоскостей |
|
|||
1 + 1 + 1 + 1 = 0, 2 + 2 + 2 + 2 = 0 |
, их скалярное произведение |
||||
|
|||||
равно нулю. |
1 2 + 1 2 + 1 2 = 0 |
. |
|
||
2. |
Условие |
|
|
|
|
|
|
параллельности двух плоскостей |
|
||
1 |
= |
1 |
= |
1 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
1 |
||
1 |
= |
1 |
= |
1 |
= |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||
1 |
= |
1 |
= |
1 |
≠ |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
совпадают.
разные.
4
3. Условие перпендикулярности двух прямых
1 2 + 1 2 + 1 2 = 0
4. Условие параллельности двух прямых
1 |
= |
1 |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
(0, 0, 0) |
|
|
|
|
|
||||
|
Расстояние от |
до Ax+By+Cz+D=0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0+ 0+ 0+ | |
|||||
( , ) = | 0α + 0β + 0γ − | = |
|
|
|
|
||||||||||
2 |
2 |
+ |
2 |
|||||||||||
6. |
Уравнения прямой через |
|
|
|
+ |
|
||||||||
−1 |
= |
|
−1 |
= |
|
−1 |
(1, 1, 1), (2, 2, 2) |
|
|
|||||
2−1 |
2−1 |
2−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
7. Уравнение плоскости по трём точкам, не лежащим на одной прямой
Если координаты равны A, B или C, то определитель равен 0. Уравнение получившейся плоскости мы можем сократить на число. 8. Условие перпендикулярности Ax+By+Cz+D=0
−0 |
= |
−0 |
= |
−0 |
|
|
|
= =
9.Условие параллельности прямой и плоскости
Al+Bm+Cn=0
10.Объём параллелепипеда на , ,
5
V=abs(detP)
Описание геометрических образов f(x,y)=0 обычно задаёт линию на плоскости.
y-x=0 прямая.
2 + 2 − 1 = 0 окружность.
2 |
+ |
2 |
= 1 |
эллипс. При y=0: a или -a. При x=0: b или -b |
2 |
2 |
|
2 |
− |
2 |
= 1 |
гипербола. |
2 |
2 |
|
6
( , ) ≤ 0, ( , ) ≥ 0 задаёт точки плоскости, лежащие по одну сторону от линии f(x,y)=0 по другую.
2 |
+ |
2 |
≤ 1 |
2 |
2 |
2 |
− |
2 |
≥ 1 |
2 |
2 |
{ − =0 полуплоскость.
2+ 2−1=0
3: ( , , ) обычно задаёт поверхность.2 + 2 + 2 = 1 сфера.
x=y=z прямая с направленным отрезком (1,1,1).
(1, 1, 1), (1, 0, 0), φ = |
3 |
||
3 |
|||
2 + 2 = 1 |
цилиндр. |
||
|
|||
|
|
||
7
Если в уравнении нет x, то поверхность параллельна Ox. Если в уравнении нет y, то поверхность параллельна Oy. Если в уравнении нет z, то поверхность параллельна Oz. x+y+z<1 полупространство.
Прямая и плоскость в пространстве и прямая на плоскости - линейные образы.
Пример: Транспортная задача 2 на 3.
Для снабжения трёх районов города хлебом есть два хлебозавода.
8
06.02.2026
Полярные координаты
Определение: На плоскости введена полярная система координат (O,P), если заданы точка полюс O и ось OP, называемая полярной осью.
Полярными координатами точки M, отличной от точки O, называются два числа: r - полярный радиус r=|OM|, а φ - угол между осью и радиусом.
Переход к декартовой системе координат: {=2 φ=2 φ
От декартовой системы к полярной: {= 2+ 2
φ= , φ=
r=a
φ = π4
9
Полярная: ( , φ) = 0 или = (φ). Декартова: ( , ) = 0 или = ( ).
Пример: 4cosφ. Область определения функции: r 0. cosφ в правой части.
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
+ |
2 |
|
+ = 4 |
, + = 4 , |
|
|
= 4 |
||||
2+ 2 |
|
|
|
|||||
Центр (2,0)
Прямая в полярных координатах
|
= (φ − α), = |
|
|
(φ−α) |
Кривые второго порядка Эллипс
Определение: Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояния от которых до двух заданных точек постоянна (и равна 2a).
10