АлгебраИГеометрия2семестр

Определённый интеграл от нечётной функции равен нулю.

1 . 2 + + . ∫ (2 + + ) = ∫ (2 + ) = 0 = 13 , 2 − 13 , 1 2 − 13

−1 −1

−π

1, , , 2 , 2 ,..., ,

π

∫ * * = 0

−π

π

∫ 2 * = π

51

n-мерно, то 1 - конечномерное, тогда существуют два тривиальных подпространства: само R и 0.

Если существуют 1, 2,..., линейно-независимые векторы, m<n, то можно рассмотреть все линейные комбинации (линейную оболочку) этих векторов. Тогда при линейной независимости размерность будет m.

Пример: Прямая в линейном пространстве.

Можем дополнять базис подпространства до базиса пространства. Для подпространств определяют сумму и пересечение (как у множеств).

+ + , 1, 2

∩ 1, 2

Если брать сумму и пересечение размерностей, то

(1 + 2) + (1 ∩ 2) = (1) + (2)

Если в 3-мерном пространстве разные плоскости P,Q, то dim(P+Q)=3, dimP=2, dimQ=2,

( ∩ ) = 1 (прямая).

Определение: Прямая сумма - такая сумма, если представление любого вектора из

( − 0; )= 0

52

( ; )= ( 0; )= 1( 1; )+... + ( ; )= ( ; )

Определитель Грама:

21.04.2026

Число вещественных корней многочленов

1. Метод Штурма.

Система Штурма для многочлена n-ой степени - набора из самого многочлена и n многочленов уменьшающихся степеней n-1,n-2,...,0.

−1( ) = ( ) −1( ) − +1( )

Если нет кратных корней, то степень уменьшится на единицу. В конце остаётся константа. Далее смотрят на то, как менялись знаки.

Пример: 4 − 6 2 + 12 + 15 = 0, 0'( ) = 4 3 − 12 + 12, 1( ) = 3 − 3 + 32( ) = 2 − 3 − 5, 3( ) =− 11 − 18, 4( ) =− 1

Строим таблицу:

53

2. Теоремы Бюдана-Фурье и Декарта.

Определение: S(c) - число перемен знаков в упорядоченной системе чисел ( ), '( ),...,

( )( ).

+( ) находят, если в степенях производных есть нули. При подсчёте +( ) не считается. −( ) находят отбрасыванием нулей, но знаки чередуют, начиная с n-ой производной.

Теорема Бюдана-Фурье: Пусть a<b, a,b - корни f(x)=0. Тогда число вещественных корней, попадающих между a и b с учётом кратности равно такому числу +( ) − −( ) или меньше этой разности на чётное число.

= 0, = ∞ Теорема Декарта.

Теорема Декарта: Число положительных корней многочлена от функции равно числу перемен знаков в системе коэффициентами этого многочлена (нули не считаются) или меньше этого числа на чётное число.

Замечание: Уравнение (− ) = 0 позволяет определить число отрицательных корней.

Характеристические многочлены для симметричной матрицы

54

Рассмотрим симметричную матрицу и запишем её характеристический многочлен. Все корни вещественны. Если в нём λ=0, то число положительных корней равно числу перемен знаков, число отрицательных корней равно числу сохранённых знаков.

( − 1)( − 2) = 2 − ( 1 + 2) + 1 2 ( − 1)( − 2)( − 3) = 3 − ( 1 + 2 + 3) 2 + ( 1 2 + 1 3 + 2 3) − 1 2 3

=?, если α, β, γ -корни 3 + + = 0.

α3 + β3 + γ3 − 3αβγ = (α + β + γ)(α2 + β2 + γ2 − αβ − βγ − αγ)

Если к первой строке прибавить вторую и третью, то получится, что определитель равен 0.

28.04.2026

Образ и ядро линейного оператора

Определение: Ядро отображения - множество векторов, обнуляющих образ = 0.

Определение: Образ - множество значений векторов, которые выходят после преобразования.

Размерность образа - ранг. Размерность ядра - дефект линейного оператора.

,

Ранг по столбцам равен рангу по строкам.

Пример: Линейный оператор 6 → 4.

55

Каждый из этих двух векторов ортогонален остальным. Они линейно-независимые. Если к четырём векторам добавить эти два, то будет базис 6.

Im(A) 4-мерные векторы, Ker(A) 6-мерные векторы. ( ) 6-мерные векторы, ( ) 4-мерные векторы.

Если бы ранг был равен трём, то тогда в образе и ядре было тоже три вектора. Линейная комбинация 5, 6 - дефект.

04.05.2026

Сопряжённый оператор

Пусть E - евклидово пространство. : → .

Определение: * - сопряжённый оператор с A, если , ( , ) = ( , *).

Лемма: B и C - квадратные матрицы. Если x,y = = .Доказательство:

Рассмотрим . Пусть i=2,j=3,n=3. = 23.

У C осталось 23 23 = 23.

Теорема: Любому линейному оператору A в евклидовом пространстве E : → соответствует единственный сопряжённый оператор * в E, причём его матрица в любом ортонормированный базисе равна .

(Ax,y)=(x, y)

Пример:

57

2. Линейный оператор сохраняющий скалярное произведение, называется унитарным.

нулевая * = , а значит оператор унитарный. 3. Унитарный оператор не меняет длину векторов.Доказательство: И строки, и столбцы нормированы:

4. Модуль собственного числа равен единице для U.

Пример:

05.05.2026

Нормальный оператор

Определение: Линейный оператор называется нормальным, если он коммутативен со своим сопряжённым * = * .

Замечание: Любой унитарный оператор - нормальный. Свойства:

Свойства:

1. Если существует собственный нормированный вектор || || = 1. = λ * = λ.

59

2.Если собственное число - вещественное, то оно является собственным числом и самого оператора, и сопряжённого.

3.( * ) = *( ) = *(λ ) = λ * , тогда * - собственный вектор A.

4.Если собственное число - комплексное, то у * собственное число = λ. λ * λ = |λ|2.

Самосопряжённый оператор Определение: Самосопряжённый оператор * = . = (симметричная). У него все

собственные числа вещественные. Собственные векторы попарно ортогональны. Если их нормировать, то будет ортонормированный базис.

Собственные числа попарно ортогональны, а значит образуют базис. Определение: Спектр оператора - множество его собственных чисел. Алгоритм вычисления спектра самосопряжённого оператора:

1.Вычисляем собственное число.

2.Если оно имеет кратность, равную 1, то нормируем собственный вектор.

3.Если кратность больше 1, то проводим ортогонализацию (Грама-Шмидта).

Пример:

60