АлгебраИГеометрия2семестр
.pdfСумма |
|
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Произведение |
|
0 |
|
1 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
|
2 |
|
2 |
3 |
. Докажем, что m 3 и m 3. |
|||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим главную диагональ таблицы произведений. Может получиться либо 0, либо 1. По таблице сумм, 1+1,0+1,1+0 не даёт нуля, то есть эти суммы не приводят к тому, чтобы сумма квадратов делилась на 3. Тогда нам подходит сумма 0+0=0, а значит это сумма делится на три. Отсюда также следует, что 2 + 29. Для классов вычетов выполняются ассоциативность, коммутативность сложения,
нейтральный элемент (нулевой класс), ассоциативность, коммутативность умножения, нейтральный элемент (класс 1), а также обратный элемент.
Лемма про НОД: |
|
|
|
|
≡ ( ) НОД(1, ) = |
. |
|
|
||
Доказательство: ≡ НОД( , ), 1 |
|
|
|
|||||||
1 = + , . |
; , 1 |
. |
d - общий делитель |
для |
1 |
и m. Пусть |
||||
|
|
|
|
|
||||||
НОД(1, ) = 1 |
1 |
делится на d. |
1 |
≥ . = 1 − . 1 1, 1 |
≥ 1 |
. |
||||
|
|
|
||||||||
1 ≥ , ≥ 1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Частный случай: если одно из чисел класса по модулю m взаимно просто с m, то и все числа этого класса взаимно просты с m.
31
Теоремы Эйлера и Ферма
Определение: Классы, состоящие из чисел, взаимно простых с m, называют
примитивными классами.
φ(m) - число примитивных классов по mod m. φ(m) - функция Эйлера.
φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, φ(4)=2, φ(5)=4, φ(6)=2, φ(7)=6, φ(8)=4, φ(9)=6, φ(10)=4, φ(P)=p-1
Теорема Эйлера: Если a и m взаимно просты, то φ( ) ≡ 1( ). Частный случай - теорема Ферма.
Большая теорема Ферма: + = .
Малая теорема Ферма: Если p - простое и a не делится на p, то −1 ≡ 1( ) или
≡ ( ).Доказательство:
Рассмотрим все классы остатков. p-1 класс остатков при делении на p. При умножении на a получим тот же набор остатков (возможно, в другом порядке).
Начинаем |
перемножать |
* |
.2 * 3 *... * ( −. |
1) ≡ 1 |
* 2 * 3 *... * ( − 1)( ) |
. |
Сократим |
|
|
||||
|
1 * 2 * 3 *... * ( − 1) |
−1 ≡ 1( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие: −1 ≡ φ( )−2( ). −1 ≡ −2( ).
Обратные классы по модулю 7 к классу 3:
3−1(7) ≡ 35(7) ≡ 5(7)
5(7) * 3(7) ≡ 1(7)
При p>2 простые числа нечётные. p-1 - чётное. Классы делятся на пары взаимно обратных, кроме ± 1.
Группы, кольца и поля
Определение: Полугруппа - множество, в котором определено действие, составляющее любой паре элементов третий - результат действия. Выполнена ассоциативность.
32
Пример: Целые неотрицательные с операцией сложения. Целые неотрицательные с операцией умножения.
Полугруппу можно называть группой, если есть нейтральный элемент и обратный элемент для всех элементов.
Пример: Целые с операцией сложения. Примитивные классы по простому модулю. Бывают коммутативные и некоммутативные группы.
( ( )) ≠ ( ( ))
Коммутативные группы называют абелевыми.
Определение: Кольцо - множество математических элементов, где определено сложение и умножения. Ассоциативность, коммутативность, обратный и нейтральный элементы для сложения. Если есть ассоциативность умножения, то кольцо ассоциативно. Если выполнена коммутативность, то коммутативно. Если существует нейтральный элемент по умножению, то кольцо с единицей.
Замечание: Если в кольце существует единица, то она единственна.
Определение: Поле - коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей такое, что у каждого элемента есть обратный элемент.
Пример: Целые - кольцо. Рациональные, вещественные, комплексные классы вычетов с простыми - поле.
2 2 + 5 + 4 = 0( 11)
= 7
|
−5+ |
−7 |
|
6+2 |
|
|
|
|
|
1 = |
= |
= 2, 2 = 1 |
|||||||
4 |
|
4 |
|||||||
23.03.2026
Квадратичные формы Основные понятия
33
Определение: Квадратичная форма - однородный многочлен 2 степени от нескольких переменных.
2 |
2 |
|
( 1, 2,..., ) = 11 1 |
+ 12 1 2 +... + 1 1 +... + |
= |
Удобно разбивать смешанные коэффициенты.
2 |
|
2 |
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ 4 1 2 + 3 2 |
+ 6 1 3 + 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Свойство: Если |
в квадратичной |
|
форме |
|
сделать |
линейное преобразование X=BY |
|||||||
(невырожденная), то можно сделать квадратичную форму от Y |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( ) = ( ) |
= = |
|
|
|
|
|
|
|||||
От симметричной матрицы |
|
|
|
: |
|
. |
|||||||
= |
|
( ) = ( ) = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Метод Лагранжа
Канонический вид, если матрица диагональна: 11 21 + 22 22 +... + 2.
Свойство: Всякая квадратичная форма с вещественными коэффициентами существует линейное преобразование с невырожденной матрицей: преобразованная форма диагональна.
Метод Лагранжа: Для приведения к каноническому виду выделяют полный квадрат.
Пример: 
У этой матрицы есть обратная, чтобы выразить X через Y.
2 1 2 + 4 1 3 − 22 |
− 8 32 |
=− 8( 3 − |
1 |
)2 + |
21 |
( 1 + 4 2)2 − 3 22 |
4 |
34
Количество положительных и отрицательных слагаемых всегда сохраняется по закону инерции квадратичных форм.
Нахождение ортонормированного базиса
Для матрицы A найдём собственные числа и собственный вектор S [матрица
собственных векторов] AS=SΛ, |
Λ = |
|
λ1 |
0 , столбцы матрицы S - собственные |
|||
векторы. |
( |
0 |
λ |
) |
|||
= Λ−1 |
|
|
|
||||
Λ = |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для квадратичной формы находят собственные числа и векторы.
Замечание: Если мы будем домножать матрицу U на различные невырожденные матрицы, то мы будем получать другие квадратичные формы в такой же диагональной матрице. То есть, существует бесконечное количество квадратичных форм.
Ранги квадратичных форм Определение: Ранг матрицы A - ранг квадратичной формы.
35
Лемма: r(AB) r(A), r(AB) r(B), так как столбцы матрицы AB - линейные комбинации столбцов A, а строки AB - линейные комбинации строк B.
Лемма: Если B - невырожденная квадратная матрица, то r(AB)=r(A).
Доказательство: Раз B - невырожденная квадратная матрица, то существует обратная ей: = ( ) −1. По лемме r(AB) r(A), r(A) r(AB).
Следствие: Если матрица F=BAC, B,C - квадратные невырожденные, то r(F)=r(A). Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых элементов в диагональной матрице, так как переход к диагональной производится с помощью невырожденной.
24.03.2026
Верхняя унитреугольная матрица, диагональная матрица и нижняя унитреугольная матрица.
2 неизвестных слева и справа.
Такое представление единственно. Если симметрично, то = .
1 = 11 12, 13 21, 31 2 23, 32 3
36
Заметим, что если матрица невырожденная, то 1 ≠ 0, 2 ≠ 0, 3 ≠ 0, тогда и все
угловые миноры не равны нулю. |
3 |
= |
3 |
|
2 |
Критерии положительности или отрицательности квадратичных форм
Определение: Квадратичная форма называется положительно определённой, если для не равных 0 одновременно эта квадратичная форма больше нуля: ( ) > 0.
( ) = 21 +... + 2
Определение: Квадратичная форма называется отрицательно определённой, если дляне равных 0 одновременно эта квадратичная форма меньше нуля: ( ) < 0.
( ) =− 21 −... − 2
Такая форма называется полуопределённой: 21 + 2 1 2 + 22 = ( 1 + 2)2 ≥ 0. Если одинаковые, то 0, если разные, то ( ) > 0.
Когда положительная форма, то точка минимума. Если отрицательная, то максимума
(кроме точки (0,0,...,0)).
Определение: Квадратичная форма называется неопределённой, если она может быть положительной и отрицательной.
Пример: 21 + 3 1 2 + 22. 1 = 2 − 21 < 0. 1 =− 2 5 21 > 0
Теорема: Квадратичная форма положительно определённая в её матрице D все
> 0.
Критерий Сильвестра положительности квадратичных форм: Чтобы квадратичная форма была положительно определённой, достаточно выполнения условий:
∆1 = 11 > 0, ∆2 = |
11 |
12 |
> 0,..., ∆ |
= |
( |
11 |
1 |
) |
21 |
22 |
1 |
|
|||||
В случае симметричной матрицы |
0=, |
. |
|
|||||
= , | | = 1( 2... . |
)Если > |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
то квадратичная форма больше нуля. |
|||
37
Нужно, |
= |
|
2 |
+ |
|
2 |
+ |
|
|
2 |
= |
|
2 |
+ |
2 |
|
2 |
+ |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
1 |
2 |
|
3 |
1 |
1 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
> 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
чтобы все отношения миноров были больше нуля, то есть |
. |
||||||||||||||||||||||||||
И наоборот, если все |
|
> 0 |
, то |
> 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
отрицательно определённую квадратичную форму. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Все отрицательны. Тогда при делении: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 = 1 < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 = |
1 |
< 0 2 |
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
2 |
< 0 |
|
< 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Чередование знаков: нечётные отрицательные, чётные положительные.
Теорема (Критерий отрицательной определённости квадратичных форм): ( )
отрицательно определённая 1 < 0, 2 > 0,..., 2 −1 < 0, 2 > 0.
Если 2 отрицательный ( 1−3/2 −1 3/2), определитель меньше нуля. Не положительный и не отрицательный.
Закон инерции квадратичных форм: Если квадратичная форма преобразована двумя способами к каноническому виду, то число квадратов с положительными и отрицательными коэффициентами одинаково.
Теоремы о собственных числах Теорема: У симметричной матрицы все собственные числа вещественные
Доказательство: ( ), λ2 − ( + )λ + ( − 2) = 0, ( + ) - след, − 2 - определитель. = ( − )2 + 4 2 оба числа положительные, значит, корни будут вещественными.
38
Теорема: Все собственные значения вещественной симметричной матрицы вещественны.
Доказательство: От противного:
= |
λ , = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = |
( 1,..., ) |
( |
|
) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. Рассмотрим число, квадратичная форма, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= = |
( 1,..., ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Покажем, что a - вещественное. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
У вещественного сопряжённого совпадает с a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 2 +... + ) , ( + )( − ) = |
+ |
λ |
|
||||||||||||||||||||||||
= |
= λ = λ( 1 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие: Для любого собственного числа можно найти вещественный собственный вектор.
Теорема: |
|
Если |
λ1, λ2 |
|
- |
|
различные |
собственные |
числа |
матрицы |
A, и |
1, 2 |
их |
||||||||||||||||||||||||
собственные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
векторы |
|
|
|
линейно-независимые. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
противного: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Доказательство: От |
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пусть (1), (2) линейно-зависимые. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(умножили на |
||||||||||||||||||||||||||
|
(1) |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
(2) |
|
|
(2) |
|
|
(1) |
|
(2) |
|
|
|
|
|
||
α |
+ β |
= 0, α ≠ 0. |
= λ |
|
, |
= λ |
|
α |
+ β |
= 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
матрицу A). |
αλ1 (1) + βλ2 (2) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
α(λ2 − λ1) (1) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
{αλ1 (1)+βλ2 (2)=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
αλ2 (1)+βλ2 (2)=0 вычитаем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. По определению собственный вектор не |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
α ≠ 0 |
|
|
λ2 − λ1 ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
равен нулю, |
, |
|
, |
|
пришли |
к |
противоречию. |
|
Значит, |
они |
|||||||||||||||||||||||||||
линейно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Замечание: В общем случае, если λ1, λ2,..., λ - попарно различные числа, (1),..., ( ) - их собственные векторы, они линейно-независимы. Если их n штук и мы можем сделать квадратичную матрицу, то она будет невырожденной.
39
Теорема: Собственные векторы вещественной симметричной матрицы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.
Доказательство:
Пусть есть вещественная симметричная матрица, = λ1, = λ2, = , λ1 ≠ λ2.
Вычислим = 2 1.
Содной стороны, = 2 1 = 2λ1 1 = λ1 2 1 число.
Сдругой стороны, = = (2 1) = 1 2 = 1λ2 2 = λ2 2 1.
Приравниваем a: λ1 2 1 = λ2 2 1 (λ1 − λ2) 2 1 = 0. 2 1 - число.
λ1 ≠ λ2 2 1 = 0 скалярное произведение векторов даёт ноль, соответственно они ортогональны.
31.03.2026
Специальные матрицы и линейные операторы Ортогональные матрицы
Определение: Вещественная квадратная матрица называется ортогональной, если её произведение на транспонированную даёт единичную матрицу * = −1 = .
| 2|= 1 | | =± 1
При умножении получим симметричную матрицу:
∑ 2 = 1
=1
40