АлгебраИГеометрия2семестр
.pdf
Ряды Фурье
Тригонометрическая система функций 1, , , 2 ,..., , ... определена на [− π, π] (или другом отрезке того же расстояния).
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
∫ 5 * 3 * |
|
= 0. 5 * ∫ ( 8 + 2 ) = 0 |
|||||||||||||||||||||
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
π |
||
Нормируем функции |
|
|| 5 || = |
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ 5 * 5 * = π |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|||||||||||
2π |
, |
|
2π |
, |
|
2π |
,..., |
|
2π |
, |
|
2π |
... |
|
|
|
|
|
|
||||
Замечание: Если в отрезке |
− |
2 |
, |
2 |
|
ортогональной системой будет функция: |
|||||||||||||||||
|
2π |
|
|
2π |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|||||||||||||
1, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
,..., |
|
|
|
|
, |
|
|
... |
|
|
|
||
= 1 1 + 2 2 +... = ( , 1) 1 +... = 1 +...
61
Рассмотрим числа |
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
π |
эти |
|||
|
= π1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
∫ ( ), = |
π1 ∫ ( ). ∫ |( )| < ∞ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
называются коэффициентами Фурье. k=0,1,2… |
|
|||||||
числа существуют. Они |
|
|
−π |
−π |
|
−π |
|
|||||||
Определение: |
( ) = |
0 |
+ |
∞ |
|
|
- ряд Фурье функции f(x). |
|
||||||
|
|
2 |
∑ ( * + * ) |
|
|
. f(x) - нечётная, тогда |
||||||||
|
|
|
|
чётная. Если её умножить на sinx, то |
|
|||||||||
Предположим, f(x) - |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
= 0 |
|
|
|||
= 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.05.2026 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряды Фурье - периодические функции.
Теорема Дирихле: Если периодическая функция с периодом = 2π имеет конечное число точек разрыва первого рода, то её ряд Фурье ( ) → ( ) в точках
непрерывности, а в точках разрыва ( ) → ( −0)+ ( +0) .
2
f(x)=x:
|
|
|
π1 ∫ 2( ) = |
2 + |
∑ (2 |
+ 2) |
|
|
|
||
Равенство Парсеваля: |
|
|
02 |
|
∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
02 |
∞ |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
( ) = |
2 |
+ ∑ ( + ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Чтобы |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
→ 0, → ∞, → 0 |
|
|
необходимый признак выполнялся нужно: |
, зачастую |
|||||||||
хватает трёх слагаемых (для приближения). |
|
|
|
||||||||
Выведем формулу: f(x)=|x| чётная, значит = 0.
62
π
π1 ∫ | | = π
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
π |
|
∫ | | * = |
π |
( * |
|
|
|
|
|0 |
|
− ∫ |
|
|
) = |
π 2 |
( π − 1) = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1. −π |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
k чётное: 0. |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. k нечётное: |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
4 |
|
∞ |
|
|
(2 +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 +1 =− |
|
|
π(2 +1)2 |
, ( ) = |
2 |
|
− |
|
π |
|
∑ |
|
|
(2 +1)2 |
|
= | | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
π |
|
|
− |
4 |
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следствие: Если подставить ноль, то тогда |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
π2 |
2 |
|
|
π |
∑ |
(2 +1)2 = 0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∑ |
|
(2 +1)2 |
= |
8 |
, 1 + |
|
9 |
+ |
25 |
+ |
|
49 |
|
+... = |
|
8 |
1 |
|
|
|
π2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||
=0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
=2 |
1 + |
4 |
+ |
9 |
+ |
162 |
|
+... = |
|
8 |
+ |
|
4 |
|
|
+ |
16 |
+ |
|
36 |
= |
|
8 |
|
+ |
4 |
(1 + |
4 |
+ |
9 |
...) = |
||||||||||||||||||||
= |
π8 |
+ |
41 |
= |
π6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
18.05.2026 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определение: Рекуррентное соотношение - выражение следующего через предыдущее.
63
64