АлгебраИГеометрия2семестр
.pdf
|
|
|
|
− |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
+ |
2 |
|
|
||
∆ = |
|
, = |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
( + )+ ( − ) |
|
|
|
|
|||||
+ |
= |
|
2+ 2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
( + )( − ) = |
|
+ |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 + 2 )(3 − ) = 5 + 5 |
|
|||||||||
5 * 10 = 50 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
+ (− |
31 |
) = |
π4 |
|||
3− |
= |
(3− )(1−2 ) |
= |
1−7 |
|||
1+2 |
5 |
5 |
|
||||
( φ1 + * φ1)( φ2 + * φ2) =
=( φ1 * φ2 − φ1 φ2)+ * ( φ1 φ2 + φ1 φ2) =
=(φ1 + φ2) + * (φ1 + φ2)
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
4 |
|
3 |
5 |
|
||
|
= 1 + + |
( 2) |
+ |
( 3!) |
|
... = (1 − |
2 |
+ |
24 |
...) + ( − |
6 |
+ |
120 |
...) |
||
|
= + * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= * φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
показательная форма |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( φ + * φ) |
|
= ( φ) + * ( φ) |
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3φ + * 3φ = ( φ + * φ)3 = 3φ + 3 * 2φ * φ − − 3 φ * 2φ − * 3φ
21
3φ = 32φ * |
φ − 3φ = |
23 φ −4 |
43φ |
|
4 |
|
|
6 |
|||||||||||
2 |
1− 2 |
|
1 |
|
1 |
|
(2 ) |
|
|
(2 ) |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||
φ = |
= |
− |
(1 − |
|
+ |
...) = |
|
− |
+ |
|
... |
||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
24 |
|
3 |
45 |
|
||||||||||
24.02.2026
Теорема: ( + ) = 0 ( − ) = 0
Доказательство: = + , = −
1 * 2 = (1 − 1)(2 − 2) = (1 2 − 1 2) − (1 2 + 1 2) = 1 * 22 = 2, 3 = 3,..., =
( ) = 0 ( ) = ( ) = 0 = 0
Теорема: 1 + 2 = 1 + 2
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 = 1; − 1; ; − |
|
|
|
|
( + ) |
|
|
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ = ∫ |
|
|
|
= ∫ |
|
= |
|
= |
|||
|
|
|
+ |
||||||||
1 |
( + * )( − ) |
= |
|
( * + * ) + |
|||||||
2+ 2 |
2+ 2 |
||||||||||
∫ = ( * − * ) += + 2 +... += + 2 +... +
22
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
( −1) |
|
(1− ) |
|
+ = |
|
+ |
+... + |
|
= + |
|
+... + |
|
= = |
|
= |
1− |
... |
|
|
|
|
−1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим отдельно S*q:
* = 2 + 3 +... + +1, − = +1 −
Рассмотрим отдельно знаменатель:
1 − ( + * |
*) |
= (1 − ) − * =− 2 * |
2 |
( |
2 |
+ * |
2 |
) = |
|||||||||||||||||||||||||
=− 2 * * |
2 |
* |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
... = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
* |
( +1) |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
(−2* * |
2 |
)** |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
−2* * |
2 |
* |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
* |
|
( +1) |
, |
= |
|
|
|
|
|
* |
( +1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
03.03.2026
Теорема Бине-Коши
Получаются симметричные матрицы с суммой квадратов по диагонали.
|
2 |
2 |
+ |
2 |
2 |
2 |
+ |
2 |
+ 12 22 |
+ |
+ 1 2) |
2 |
( |
) = ( 11 |
+ 21 |
+ 1)( 12 |
+ 22 |
+ 2) − ( 11 21 |
|
||||||
Рассмотрим случай для 2 на 3:
( 211 + 212 + 213)( 221 + 222 + 223) − ( 11 21 + 12 22 + 13 23)2 =
Здесь получится 6 квадратов, соответственно будет 3 удвоенных произведения.
23
= ( 11 22 − 21 12) |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
+ ( 11 23 − 21 13) + ( 12 23 − 13 22) |
|
|
||||
В скобках миноры матрицы. |
|
. × , × |
|
× × |
|
||
Теорема Бине-Коши: Рассмотрим матрицы |
, тогда |
. Рассмотрим |
|||||
миноры меньшего |
порядка. |
= ( , ) |
|
|
|||
зависимы). Если n m, det(AB) |
Тогда n<m, то det(AB)=0 (линейно |
||||||
|
|
|
равен сумме попарных произведений соответствующих |
||||
миноров порядка l.
Теорема: При m=n det(AB)=det(A)*det(B).
Теорема: Если матрица имеет обратную матрицу, то её определитель не равен нулю.Доказательство: * −1 = | | * | −1| = 1
Определитель обратной матрицы тоже не равен нулю.
* = ∆ *
Если ∆ ≠ 0, то * ( ∆1 ) = −1 = ∆1
Теорема (обратная): Если ∆ ≠ 0, то существует обратная матрица. Формула Крамера
24
AX=B= |
11 |
... |
1 |
= |
|
1... |
|
= |
|
1... |
|
||
1 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X= −1( |
= |
∆1 |
) |
|
( |
|
) |
|
( |
|
) |
||
Далее делим на Δ, чтобы получить столбец X и формулу Крамера:
−1 = |
∆1 |
= |
∆1 |
∆1... |
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим экономическую( ) |
Балансовая модель |
= |
1... |
|
|
||||
систему, состоящую из n отраслей. |
|
валовая |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
продукция. Произвели продукцию. = ( 1...) конечная продукция(. |
Внутренние |
||||||||
|
) |
25 |
|||||||
затраты системы линейны. |
|
- затраты продукции i-ой отрасли на изготовление |
|||
валовой продукции j-ой |
отрасли. |
* |
- количество i-ой отрасли в j-ую. |
||
|
|
|
|
||
1 − 11 1 − 12 2 −... − 1 = 1
2 − 21 1 − 22 2 −... − 2 = 2
X-AX=Y
- коэффициенты прямых затрат. A - матрица затрат. Задача: по заданному Y определить X (A известна).
EX-AX=Y
(E-A)X=Y
= ( − )−1 * = * (S - матрица полных затрат)
0: 0 > 0, то матрица A продуктивна, следовательно ! ≥ 0.
Пример: |
= |
0,3 |
0,2 |
, − = |
( |
0,7 |
−0,2 |
) |
, − = |
( |
0,8 |
0,2 |
) |
|
0,3 |
0,2 |
−0,3 |
0,8 |
0,3 |
0,7 |
|||||||
= ( − )−1( |
= ( |
0,61,6) |
1,40,4) |
|
|
|
|
|
|||||
10.03.2026 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножение матрицы на матрицу
{ 1=3 1−4 2+ 32=−2 1+5 2−5 3 { 1=7 1−8 22=−4 1+4 2
26
{ 3=6 1−3 24=−2 1+5 2
1 = 7(3 1 − 4 2 + 3) − 8(− 2 1 + 5 1 − 5 3) = 37 1 − 68 2 + 47 3
(AB)C=A(BC)
→ , → , → = → , → , →
Ассоциативность выполняется.
Теорема: A,B,C - квадратные матрицы. AB=E,CA=E, тогда B=C.B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.
Нахождение обратной матрицы Теорема: −1 = −1 = .
27
Теорема Лапласа: Пусть в матрице определителя выбраны k строк, тогда определитель равен сумме произведений всех миноров, составленных из этих строк, на дополняющие миноры, взятые со знаком (− 1)α1+α2+...+α +β1+β2+...+β .
Пример: Для четырёх: α1 = 1, α2 = 2
Следствие: Частным случаем является ступенчатая матрица.
квадратная 0
C квадратная
=|A||B|
Собственные числа
AX=λX,X≠Ø n×n,n×1,n×1 (A-λE)X=Ø
Пример:
28
Обозначим матрицу, на главной диагонали которой собственные числа, а остальные позиции - нули, за Λ.
= Λ= Λ−1
2 = Λ(−1)Λ = Λ2 −1= Λ −1
( ) = (Λ) −1
17.03.2026
29
Теория сравнений |
|
Классы вычетов |
≡ ( ), если |
, . . Классы: одинаковый остаток при делении на m |
|
( − ) |
|
a сравнимо по модулю m с b, если их разность делится на m. |
|
≡ ( ) |
|
≡ ( ) ≡ ( ) |
|
Каждое целое число попадает только в один класс сравнений. |
|
≡ ( ), ≡ ( ) ≡ ( ) |
|
: 0, 1, 2..., − 1 - классы. |
|
Лемма: Любое целое число сравнимо только с одним из этих чисел по модулю m.Доказательство: От противного
Пусть число сравнимо сразу с двумя числами. Их разность меньше m, а это невозможно. Что и требовалось доказать.
Представители всех классов образуют полную систему вычетов по модулю m.
Доказательство: 1 − 2 = , 1 − 2 =
1 1 − 2 2 = (1 − 2) 1 + (1 − 2) 2 = 1 + 2 = (1 + 2)
Это кратно m. Следовательно 1 1 ≡ 2 2( )
Таблицы сумм и произведений для m=3:
30