АлгебраИГеометрия2семестр
.pdf
Сумма x+y до -c и c должны быть постоянна. c<a
( + )2 + 2 + ( − )2 + 2 = 2
( + ) |
2 |
+ |
2 |
= 4 |
2 |
− 4 ( − ) |
2 |
+ |
2 |
+ ( − ) |
2 |
+ |
2, |
сократим y |
и раскроем |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
скобки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 − = ( − )2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 2 + 2 2 + 2 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
( |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2( |
− 2 |
|
) + |
|
= |
|
− 2 ) |
|
|
|
|
|
каноническое |
уравнение |
эллипса. В |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
+ |
− |
2 |
= 1, |
|
|
− |
|
= , |
|
2 |
|
+ |
|
2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
окружности a=b.
2 + 2 = 2
Расстояние до фокуса. 1, 2 - фокусы.
( + )2 + 2 + ( − )2 + 2 = 2 , + ’ = 2
+ '=2 { 2−( ')2=4
− ' = 42
11
= + = +ε
{ , эксцентриситет - ε - мера сплюснутости эллипса.
'= − = −ε
' |
= |
−ε |
. Если |
= |
|
, то |
−ε |
||||
|
− |
|
|
|
ε |
ε |
− |
||||
Если |
= |
|
= |
2 |
, то расстояние - константа. Это будет директрисой эллипса. |
||||||
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|||
Свойства директрисы:
1.Отношение расстояния от любой точки эллипса до ближайшего фокуса к ближайшей директрисе постоянно и равно ε эксцентриситету.
2.Если такая линия слева, то знак отрицателен.
11.02.2026
Пример:
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
9 |
|
+ 25 = 225, |
|
|
+ |
|
= 1, 5 |
|
− 3 |
|
= , =± 4 |
||||||
|
|
52 |
32 |
|
|
||||||||||||
Эксцентриситет |
|
= |
54 |
. Директриса |
253 |
|
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
( −1) |
2 |
|
( +2) |
2 |
|
4 |
|
+ 3 |
|
− 8 + 12 − 32 = 0, 4( − 1) |
|
+ 3( + 2) = 48, |
|
+ |
|
= 1 |
||
|
|
|
12 |
|
16 |
|
12
Центр эллипса имеет координаты (1;-2). = 0: 2 − 2 − 8, =− 2; 4.
= 0: 3 2 + 12 − 32 = 0, = −6±23 33 . 1,2 =± 2. Директрисы −162 − 2 =− 10, 162 − 2 = 6
Гипербола
Определение: Гипербола - геометрическое место точек, разность расстояния от которых до двух заданных (фокусов) постоянна и равна 2a.
a<c
( + )2 + 2 − ( − )2 + 2 = 2
13
( + ) |
2 |
+ |
2 |
= 4 |
2 |
+ 4 ( − ) |
2 |
+ |
2 |
+ ( − ) |
2 |
+ |
2, |
сократим y и раскроем |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
скобки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 = = ( − )2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 2 + 2 2 + 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
( |
2 |
2 |
) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2( |
− 2 |
|
) + |
|
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каноническое уравнение гиперболы. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
+ |
− |
2 |
= 1, |
|
|
− |
|
= , < |
|
|
− |
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Oy - мнимая ось. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Про асимптоты: |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
= |
2 |
|
− 1, =± |
|
|
2 |
− 1 ≈± |
|
|
, ( |
|
|
2 |
− 1 − |
|
|
) = |
|
|
|
|
, → ± ∞ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
−1+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Асимптоты ± . Если a=b, то асимптота равносторонняя.
Если |
2 |
− |
2 |
=− 1 |
, то тогда все точки графика выше b и ниже -b. |
|
2 |
2 |
|
2 2
' − = 2 : {( ') − =4'− =2
14
{ '+ =2'− =2
{
'= += −
ε =
2
> 1. Директрисы ± ε =± .
Пример:
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
5 |
16 |
|
− 9 = 144 |
|
− |
|
= 1, |
|
= 9, |
|
= 16, = 25, ε = |
||||||
|
9 |
16 |
|
|
3 |
|||||||||||
Директрисы - |
± |
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
|
||
16 2 − 9 2 |
=− 144 |
9 |
+ |
16 |
= 1 |
16 |
2 |
− 9 |
2 |
=− 144 |
|
2 |
+ |
|
2 |
= 1,16 |
2 |
− 9 |
2 |
= 144, |
|
2 |
+ |
|
2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
9 |
16 |
|
|
32 |
42 |
|||||||||||||
15
16 2 |
2− 9 2 − |
264 − 18 − |
199 = 0,16( − 2)2 |
− 9( + 1)2 =− 144 |
||||||||||
( −2) |
|
− |
( +1) |
|
=− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
42 |
|
|
2 |
|
199 |
|
|
4 |
13 |
|
||
Точки пересечения с осью: |
|
|
|
|||||||||||
|
+ 2 − 9 |
= 0, =− 1 ± |
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ 1 =± 43 ( − 2) = 43 − 113 , =− 43 + 53
Парабола
Определение: Парабола - это геометрическое место точек, равностоящих от некоторой точки (фокуса) и заданной прямой.
Примечание автора:
Определение: Парабола - множество точек плоскости, равноудалённых от заданной точки (фокуса) и заданной прямой (директрисы), причём фокус не лежит на директрисе.
16
( − 2 )2 + 2 = + 2 , ( − 2 )2 + 2 = 2 + + 22 − + 2 + 2 = 2 + + 2
2 = 2 каноническое уравнение параболы вправо.
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
= |
, 2 = 1, |
2 |
= |
4 |
, |
|
+ ( − |
4 |
) |
|
= + |
4 |
Эллипс, гипербола и парабола являются коническими сечениями.
|
2 |
= |
|
+ |
2 |
|
2 |
|
- уравнение конуса. |
||||
2 |
|
|||||
|
|
|
||||
Окружность, эллипс, гипербола
17
Уравнения кривых в полярных координатах
Полюс совмещается с фокусом. Параметр - расстояние по перпендикуляру до точки кривой второго порядка. Фокусальный параметр.
= |
|
= |
|
= |
−− |
| | |
|
| 0| |
|
|
|
= |
|
= |
− |
= ε |
|
Эксцентриситет |
|
|
. |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| | |
= | 0 0| = ε |
|
| | |
| 0 0| |
| |−| 0 0| |
|
|||||
− = * ε * φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 1−ε*φ уравнение кривых второго порядка в полярной системе координат. <0 - знаменатель гарантированно положительный.
φ = 1ε < 1
p - расстояние от фокуса до точки над фокусом.
Для параболы p - не только расстояние от фокуса до директрисы. Геометрическое место точек равноудалено и от фокуса, и от директрисы.
Для эллипса c - расстояние от фокуса до центра. В декартовой системе координат
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
+ |
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
2 . |
|
0 = (− ; ), |
|
+ |
|
|
= 1, |
|
= |
|
|
, = |
|
, = |
|
|
||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
+ |
2 |
+ + + = 0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В общем случае у нас |
|
2 |
+ + |
+ + + = 0 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
вырожденный случай. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
− 2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
18
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Поверхности второго порядка |
|||
|
+ |
+ |
+ + + + + + + = 0 |
||||||||||||
1. Эпиллипсоид |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||
2 |
+ |
2 |
+ 2 = 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. Гиперболоид: однополостный |
2 |
+ |
2 |
− |
2 |
= 1 |
, двуполостный |
2 |
+ |
2 |
− |
2 |
=− 1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
3. Конус |
2 |
+ |
2 |
− |
2 |
= 0 |
|
2 |
2 |
2 |
19
4. Параболоид:
Эпилептический =
22
+
2 2
22
2− 2 . Здесь есть седловая точка.
5.Цилиндры. Если нет какой-то оси, то цилиндр параллелен этой оси. 13.02.2026
Комплексные числа
( + )( + ) = ( − ) + ( + )
+ = +
+
− = |
2 |
+ |
2 |
> 0 ∆ = |
|
− |
, = |
− |
{ +=, ∆ = |
|
|
|
|
2+ 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20