АлгебраИГеометрия2семестр
.pdf
∑ = 0, ≠
=1
Если сумма квадратов равна 1, то можно рассматривать строку как единичный вектор. Строки матрицы нормированы и попарно ортогональны.
* = столбцы матрицы нормированы и попарно ортогональны. Следствие:
1.Если матрица ортогональны, то обратная тоже ортогональна
2.Произведение двух ортогональных матриц - ортогональная матрица.
|
* (1 2) |
|
|
|
= |
|
3. 1 2 |
|
= 1 2 2 1 |
= 1 1 |
|
Единичная матрица является ортогональной.
Определение: Если определитель равен 1, то матрица собственно-ортогональная, а
если равен -1, то она несобственно-ортогональная.
Пример:
Матрица поворота ( α − α)
Матрица собственных векторов 
Унитарная матрица
Рассмотрим матрицы с комплексными элементами.
Матрица * = называется сопряжённой с матрицей A.
41
Определение: Матрица называется унитарной, если * * = −1 = *.
( + )( − ) = 2 + 2 = | + |2
∑ |
= 1 = ∑ | | |
||
=1 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
∑ = 0, ≠
=1
Строки матрицы нормированы и попарно ортогональны. Столбцы матрицы нормированы и попарно ортогональны. Свойства:
1.Q - унитарная * унитарная.
2.Произведение унитарных матриц - унитарная матрица.
3.Единичная матрица унитарна.
4.| | * | *| = 1
Пример:
( * αα − *αα)
Характеристический многочлен квадратной матрицы
42
A-λE - характеристическая матрица. det(λE-A)=
=f(λ)=
= λ − λ −1 + λ −2 −... + (− 1) - характеристический многочлен.
1 2
Замечание автора: Для характеристического многочлена подходят как det(A-λE), так и det(λE-A), так как корни одинаковые.
Свойства:
1. Коэффициент λ −1 получается из произведения диагональных элементов:
(λ − )(λ − )... (λ − ) = λ − λ −1( + +... + )
11 22 11 22
1 |
|
|
|
|
след матрицы |
|
|
= ∑ = ( ) = ( ) |
|
|
|
||||
|
=1 |
|
|
|
|
1) * | | = (− 1) * = | |. |
|
2. Коэффициент получится, если λ = 0: (− |
|||||||
|
| λ− 11 |
12 | |
2 |
− ( 11 + 22)λ + ( 11 22 − 12 21) |
- след и определитель. |
||
= 2: || 21 |
λ− 22|| = λ |
|
|
||||
Теорема Гамильтона-Кэли
Теорема Гамильтона-Кэли: При подстановке матрицы A в её характеристический многочлен получается нулевая матрица.
Примечание автора: Для доказательства необходимо свойство присоединённой матрицы
* ( ) = ( ) * = ( ) * .
Доказательство:
Рассмотрим = λ − (транспонированная из алгебраических дополнений). Она не может содержать λ . Запишем = 1λ −1 + 2λ −2 +... + λ0.
(λ − ) = ( ) ( 1λ −1 + 2λ −2 +... + )(λ − ) = (λ − 1λ −1 + 2λ −2 +... + (− 1) )
43
Сложим и получим ноль. Или делаем подстановку в
(λ − ) = ( ) ( − ) = ( ) , но AE-A=0, значит, ( ) = 0.
06.04.2026
|
|
|
|
2 |
3 |
|
, |
|
−1 Λ |
Λ |
|
|
λ1 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
= + + |
2 |
+ |
6 |
... |
|
= |
, |
|
= |
0 |
λ2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действия над линейными операторами |
||||||||||||||
Определение: |
Пусть |
даны векторные |
(пространства) |
F и G. Правило (функция), |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется линейным оператором, если |
||||
сопоставляющий |
|
вектор из |
|
G, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
- сам |
оператор, F - область |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 2 1, 2, (1 1, 2 2) = 1 1 + 2 2, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
определения, G - область значений.
Пример: Нулевой оператор, Тождественный оператор, Растяжение и сжатие, Дифференцирование, Интегрирование с переменным верхним пределом.
|
|
Конечномерные векторные пространства |
|
||
Пусть |
, |
- векторные пространства, базис |
1,..., = |
|
|
|
|
∑ , = ( ∑ ) = |
|||
|
|
|
|
=1 |
=1 |
. |
Чтобы задать линейный оператор достаточно знать, |
во что оператор |
|||
= ∑ ( ) |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
преобразует базисные векторы ( ). имеет свой базис 1,..., . Тут удобно брать транспонированные коэффициенты.
44
( ) = 11 1 +... + 1 = ∑ 1
=1
( ) = ∑
=1
Пусть y - произвольный вектор из G.
|
|
|
|
|
|
|
(Здесь |
|
- коэффициент). |
|
|||||||||
= ∑ = = |
∑ ( ) = |
∑ |
∑ = |
∑ ∑ |
|
|
|||
=1 |
=1 |
=1 |
=1 |
=1 =1 |
|
|
|
||
= 11 1 + 12 2 +...
=
У нулевого оператора - нулевая матрица, у единичного - то же самое.
Матрицы поворота
1 |
= | | * |
(φ |
+ α) = | | * α * φ − | | * α * φ = 1 |
* φ − 2 |
* φ |
|||||||||||
2 |
= | | * |
(φ |
+ α) = | | * α * φ − | | * α * φ = 1 |
* φ + 2 |
* φ |
|||||||||||
: →( |
|
|
− α |
) |
|
|
−1 |
|
( |
α |
α |
) |
|
|
|
|
= |
α |
|
против часовой стрелки. |
|
= |
|
|
по часовой стрелке. |
||||||||
, |
α |
α |
|
|
|
|
− α α |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
тогда A - квадратная, мы можем говорить про собственные числа. |
|
||||||||||||
45
1, 2 - собственные векторы, соответствующие одному λ, тогда 1 1 + 2 2 - тоже собственные векторы.
Унулевой матрицы все собственные числа нулевые.
Уединичной матрицы - единицы.
( − λ) = 0
Пример: Проецирование векторов на плоскость, проходящих через начало координат.
+ + = 0, = (1, 1, 1).
− , ( , ) = ( , ), = + α , ( , ) + α( , ) = 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
α =− |
, = − |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
| |
|
|2 |
|
| |
|
|2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
, |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
− |
| |
|
|2 |
|
= − |
3 |
|
|
− |
3 |
, (1, 0, 0) − |
3 |
(1, 1, 1) |
|||||||||||||||||||
46
Матрица проецирования - 
,
07.04.2026
Построение кривых второго порядка
Общий вид кривых второго порядка:
2 + 2 + 2 + + + = 0
Квадратичная форма определяет вид кривой, остальные отвечают за сдвиг.
Сначала рассматриваем квадратичную форму Находят центр выделением целой части из квадратичной формы.
+ = 1+
1−
D>0 гипербола, D=0 парабола, D<0 эллипс.
Пример:
3 2 + 10 + 3 2 − 2 − 14 − 13 = 0, λ1 =− 2, 1 = |
|
1 |
12 |
|
, λ2 = 8, 2 = |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
− |
|
|
12 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
'+ ' |
(8), |
= |
'− ' |
|
(− 2), = |
+ |
|
− |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
подставляем |
|
в уравнение и получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
, = |
2 |
|
( |
|
|
|
) |
( ) |
|||||||||||||||||
'− |
22 |
|
|
2 |
|
|
|
|
'−3 |
22 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
( |
|
|
1 |
|
|
) |
|
−2 |
( |
|
4 |
|
|
)2 |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Центр: |
' = |
|
|
, ' = 3 |
|
|
|
, + = 1, − = 3 = 2, =− 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
асимптота. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
=± 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ищем угловые коэффициенты асимптот.
47
π4 |
+ 2 |
= 1 + 2 |
= |
−31 |
|
|
|||||||||
π4 |
− 2 |
= 1 − 2 |
= − |
31 |
|
|
|||||||||
+ 1 =− 3( − 2), + 1 =− |
1 |
|
( + 2) |
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
||||||||||||
Другой способ вычислить: |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
−5 ± |
|
|
−9 |
|
|
|
1 |
|
||||
3 + 10 + 3 = 0, = |
|
25 |
|
=− 3 , − |
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
7±2 |
22 |
|
|
|
|
|
|
||
= 0: 3 2 − 14 − 13 = 0, = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 0: 3 − 2 − 13 = 0, = |
1±2 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14.04.2026
Евклидово пространство
Определение: Евклидово пространство - это линейное пространство со скалярным произведением.
Аксиомы скалярного произведения - числа, ставящегося в соответствие 2 объектам:
1.(x,y)=(y,x)
2.(λx,y)=λ(x,y)
48
3.(x+y,z)=(x,z)+(y,z)
4.(x,x) 0. (x,x)=0, если x=0.
( 1, 2,...,), ( 1, 2,..., ), ( , ) = 1 1 +... +
Рассмотрим примеры скалярного произведения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Квадратичная форма. Билинейная форма: |
|
|
|
|
|
|
|
|
11... |
1 |
|
1... . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( 1,..., ) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
При (x,x) билинейная форма превращается в квадратичную |
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
... |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому( |
|
необходимо |
брать |
|||||||
По |
критерию |
Сильвестра, |
форму. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
)11( |
1 |
) |
12 |
1 2 |
||||||||||||
положительную определённую |
1 > 0,..., > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Другой пример - скалярное произведение векторов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Также примером является C[a,b] непрерывные на отрезке функции. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- здесь не конечномерная ситуация. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( , ) = ∫ ( ) ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Многочлен |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
| | = |
( , ) |
|
|
|
φ = |
( , ) |
, 0 ≤ φ ≤ π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
. Угол можно определить как |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |*| | |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Если скалярное произведение равно нулю, мы называем ортогональными объектами
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
|
|
| |
|
+ |
|
|2 = | |2 + | |2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
|
+ |
|
, |
|
+ |
|
) = ( |
|
, |
|
) + 2( |
|
, |
|
) + ( |
|
, |
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
: | 1 +... + | |
2 |
|
= | 1| |
2 |
+... + | | |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Для попарно ортогональных: |
|
, ≠ |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
φ = |
|
|
|
≤ 1 (∫ ( ) ( ) ) |
≤ ∫ ( ) ∫ ( ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |2*| |2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
49
|
2 |
|
|
|
∑ |
|
≤ ∑ 2 ∑ 2 |
|
|
=1 |
|
=1 |
=1 |
∑ |
∑ |
2 ≤ ∑ |
|||
, |
|
, |
|
, |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- неравенство треугольника |
(следствие неравенства |
|
| 2+ )| ≤ (| | + | | )( |
||||||||||||
( |
) |
2 |
||||||||||
(Коши-Буняковского) ). |
|
|
||||||||||
| + | = | | + 2( , ) + | | ≤ | | + 2| || | + | | = (| | + | |)
В конечномерных пространствах расстояние - модуль разности:
( , ) = | − | = ( − , − )
Ортогональный базис
Пусть в пространстве задан базис ,..., .
1
( , ) = 0, ≠ |
ортогональный базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( , ) = 1 |
ортонормированный базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема: Базисы попарно линейно-независимы. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Предположим, что |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. Умножим скалярно на |
|
|
: |
|
|
||||||
1 |
|
= 0 |
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
+... |
|
, значит, |
|
(и |
|
|
|
|
|
|||||||
1( 1, 1) + 2( 1, 2) +... = 1|| 1|| |
2 |
= 0 |
|
1 = 0 |
|
все остальные |
|
). Значит, |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
векторы линейно-независимые.
Ортогонализация
1, 2 - линейно-независимы. ( 1 + 2) ≠ 0
50