3. Проверка равенства вероятности некоторому значению δ:

Предварительно следует рассчитать относительную частоту (точечную оценку вероятности) по формуле:

n – размер выборки (=СЧЁТ()), n₁ – количество наблюдений, в которых признак принял интересующее нас значение (=СЧЁТЕСЛИ).

1) Выбирается уровень значимости α.

2) Нулевая гипотеза Альтернативная гипотеза

3) Рассчитывается наблюдаемое значение z-статистики:

Если верна нулевая гипотеза, то z имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1).

4.1) Наблюдаемое значение z_набл сравнивается с критическим значением. Если |z_набл| > z_α (или z_набл > z_α, или z_набл < z_α), то нулевая гипотеза отвергается (в первом случае критическая область двусторонняя, во 2-м – правосторонняя, в 3-м - левосторонняя). Наблюдения противоречат тому, что p=δ.

4.2) Для наблюдаемого значения z_набл определяется p-value (в первом случае критическая область двусторонняя, во 2-м – правосторонняя, в 3-м - левосторонняя). Если p-value<α, нулевая гипотеза отвергается. Наблюдения противоречат тому, что p=δ.

Важное примечание.

Пусть предполагаемое значение вероятности выбрано равным δ и пусть рассчитана относительная частота ω. Тогда если:

1) то H₀ проверяется только против H₁: p>δ или против H₁:p≠δ.

2) то H₀ проверяется только против H₁: p<δ или против H₁: p≠δ.

Двусторонняя критическая область:

Критическое значение z_α в Excel можно найти с помощью формулы:

=НОРМ.СТ.ОБР(1-альфа/2)

Значение p-value можно определить с помощью формулы:

=2*НОРМ.СТ.РАСП(-ABS(z_набл); ИСТИНА)

Правосторонняя критическая область:

Критическое значение z_α в Excel можно найти с помощью формулы:

=НОРМ.СТ.ОБР(1-альфа)

Значение p-value можно определить с помощью формулы:

=1-НОРМ.СТ.РАСП(z_набл; ИСТИНА)

Левосторонняя критическая область:

Критическое значение z_α в Excel можно найти с помощью формулы:

= НОРМ.СТ.ОБР(альфа)

Значение p-value можно определить с помощью формулы:

=НОРМ.СТ.РАСП(z_набл; ИСТИНА)

4. Проверка значимости коэффициента корреляции Пирсона.

Оценкой коэффициента корреляции является:

Одной лишь точечной оценки недостаточно для того, чтобы делать выводы. Необходимо проверить статистическую значимость коэффициента корреляции.

Пояснение: рассчитывая r, мы пытаемся получить оценку истинного коэффициента корреляции R с.в. X и Y. Поскольку r рассчитывается по ограниченной выборке, его значение отличается от R, значение которого интересует исследователя. Вполне возможна ситуация, когда корреляционной связи между X и Y на самом деле нет и R=0, а оценка r отличается от нуля.

Проверка значимости:

1) Выбирается уровень значимости α.

2) Нулевая гипотеза Альтернативная гипотеза

3) Рассчитывается наблюдаемое значение t-статистики:

Если верна нулевая гипотеза H₀, то t имеет распределение Стьюдента T(n-2) (аргумент в скобках называется "числом степеней свободы").

4.1) Наблюдаемое значение t_набл сравнивается с критическим значением t_α,n-2 (критическая область двусторонняя). Если |t_набл| > t_α,n-2, то нулевая гипотеза H₀ отвергается в пользу альтернативной H₁. В этом случае делается вывод о значимости коэффициента корреляции Пирсона, следовательно, существует связь между X и Y (линейная).

4.2) Для наблюдаемого значения t_набл определяется p-value (критическая область двусторонняя). Если p-value<α, нулевая гипотеза H₀ отвергается в пользу альтернативной H₁. Делается вывод о значимости коэффициента корреляции Пирсона.

Критическое значение t_α,n-2 (для двусторонней критической области) в Excel можно найти с помощью формулы:

= СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(уровень значимости; размер выборки - 2)

Значение p-value можно определить с помощью формулы:

=СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х(|t_набл| ; размер выборки - 2)