1. Проверка равенства математического ожидания нормально распределенной случайной величины некоторому значению µ:

1) Выбирается уровень значимости α.

2) Нулевая гипотеза Альтернативная гипотеза

3) Рассчитывается наблюдаемое значение t-статистики:

Если верна нулевая гипотеза H₀, то t имеет распределение Стьюдента T(n-1) (аргумент в скобках называется "числом степеней свободы").

4.1) Наблюдаемое значение t_набл сравнивается с критическим значением t_α,n-1 (критическая область двусторонняя). Если |t_набл| > t_α,n-1, то нулевая гипотеза H₀ отвергается в пользу альтернативной H₁. Наблюдения противоречат тому, что E(X)=µ.

4.2) Для наблюдаемого значения t_набл определяется p-value (критическая область двусторонняя). Если p-value<α, нулевая гипотеза H₀ отвергается в пользу альтернативной H₁. Наблюдения противоречат тому, что E(X)=µ.

Критическое значение t_α,n-1 (для двусторонней критической области) в Excel можно найти с помощью формулы:

= СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(уровень значимости; размер выборки - 1)

Значение p-value можно определить с помощью формулы:

=СТЬЮДЕНТ.РАСП.2Х(|t_набл| ; размер выборки - 1)

Вариант этого теста с другой альтернативной гипотезой:

1) Выбирается уровень значимости α.

2) Нулевая гипотеза Альтернативная гипотеза

3) Рассчитывается наблюдаемое значение t-статистики:

Если верна нулевая гипотеза H₀, то t имеет распределение Стьюдента T(n-1) (аргумент в скобках называется "числом степеней свободы").

4.1) Наблюдаемое значение t_набл сравнивается с критическим значением t_α,n-1 (критическая область односторонняя: правосторонняя в случае и левосторонняя в случае ). Если t_набл>t_α,n-1 (или t_набл<t_α,n-1), то нулевая гипотеза отвергается. Наблюдения противоречат тому, что EX= µ.

4.2) Для наблюдаемого значения t_набл определяется p-value (критическая область односторонняя). Если p-value<α, нулевая гипотеза H₀ отвергается в пользу альтернативной H₁. Наблюдения противоречат тому, что E(X)=µ.

Важное примечание.

Пусть предполагаемое значение математического ожидание выбрано равным μ и пусть рассчитано выборочное среднее . Тогда если выполняется неравенство:

то наблюдаемое значение

может принять только положительное значение и гарантированно не принадлежат левосторонней критической области, поэтому проверка H₀ против H₁: E(X)<μ бессмысленна, т.к. H₀ заведомо не будет отвергнута.

Наоборот, если то нет смысла проверять H₀ против H₁: E(X)>μ, т.к. H₀ заведомо не будет отвергнута.

Таким образом, если:

1) то H₀ проверяется только против H₁: E(X)>μ или против H₁: E(X)≠μ.

2) то H₀ проверяется только против H₁: E(X)<μ или против H₁: E(X)≠μ.

Критическое значение t_α,n-1 (для правосторонней критической области) в Excel можно найти с помощью формулы:

= СТЬЮДЕНТ.ОБР(1 - уровень значимости; размер выборки - 1)

Критическое значение t_α,n-1 (для левосторонней критической области) в Excel можно найти с помощью формулы:

= СТЬЮДЕНТ.ОБР(уровень значимости; размер выборки - 1)

Значение p-value (правосторонняя критическая область) можно определить с помощью формулы:

=1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(t_набл; размер выборки - 1; ИСТИНА)

Значение p-value (левосторонняя критическая область) можно определить с помощью формулы:

=СТЬЮДЕНТ.РАСП(t_набл; размер выборки - 1; ИСТИНА)

2. Тест Харке-Бера (Jarque-Bera test). С помощью теста проверяется гипотеза о нормальности распределения:

1) Выбирается уровень значимости α.

2) Нулевая гипотеза H₀: распределение нормальное (SKEW=0, KURT=0).

Альтернативная гипотеза H₁: распределение отличается от нормального (SKEW≠0, KURT≠0).

3) Рассчитывается наблюдаемое значение статистики JB:

где skew и kurt – выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Если верна нулевая гипотеза H₀, то JB имеет распределение хи-квадрат χ²(2).

4.1) Наблюдаемое значение JB_набл сравнивается с критическим значением (критическая область правосторонняя). Если JB_набл > , то нулевая гипотеза H₀ отвергается в пользу альтернативной H₁. Наблюдения противоречат тому, что распределение является нормальным.

4.2) Для наблюдаемого значения JB_набл определяется p-value. Если p-value<α, нулевая гипотеза H₀ отвергается в пользу альтернативной H₁. Наблюдения противоречат тому, что распределение является нормальным.

Критическое значение (для правосторонней критической области) в Excel можно найти с помощью формулы:

= ХИ2.ОБР.ПХ(уровень значимости; 2)

Значение p-value (правосторонняя критическая область) можно определить с помощью формулы:

= ХИ2.РАСП.ПХ(JB_набл;2)