8. Поиск минимума функции методом золотого сечения

Для начального отрезка [a₀, b₀] = [-10, 6] рассчитываем две точки:

x₁⁽⁰⁾ = -10 + (1 – 0,618) * (6 + 10) = -3,89

x₂⁽⁰⁾ = -10 + 0,618 * (6 + 10) = -0,12

и значение функции в этих точках

y₁⁽⁰⁾ = f(x₁⁽⁰⁾) = (-3,89)² + 9 * (-3,89) = -19,88

y₂⁽⁰⁾ = f(x₂⁽⁰⁾) = (-0,12)² + 9 * (-0,12) = -1,07

y₁⁽⁰⁾ < y₂⁽⁰⁾, следовательно новый отрезок имеет границы:

[a₁, b₁] = [a₀, x₂⁽⁰⁾] = [-10, -0,12]

Проверяем условие окончания поиска: Δ₁ = b₁-a₁= -0,12+10 > ε = 0,5 и про- должаем решение.

Для отрезка [a₁, b₁] = [-10, -0,12] рассчитываем новые точки

x₁⁽¹⁾ = -10 + (1 – 0,618) * (-0,12 + 10) = -6,23

x₂⁽¹⁾ = x₁⁽⁰⁾ = -3,89

и значение функции в точке x₁⁽¹⁾:

y₁⁽¹⁾ = f(x₁⁽¹⁾) = (-6,23)² + 9 * (-6,23) = -17,26

Значение функции в точке x₂⁽¹⁾ совпадает со значением в точке x₁⁽⁰⁾

y₂⁽¹⁾ = y₁⁽⁰⁾ = - 19,88

y₁⁽¹⁾ > y₂⁽¹⁾, следовательно новый отрезок составит:

[a₂, b₂] = [x₁⁽¹⁾, b₁] = [-6,23, -0,12]

Проверяем условие окончания поиска: Δ₂ = b₂-a₂= -0,12+6,23 > ε = 0,5 и про- должаем решение.

Отрезок [a₂, b₂] = [-6,23, -0,12]

x₁⁽²⁾ = x₂⁽¹⁾ = x₁⁽⁰⁾ = -3,89

x₂⁽²⁾ = -6,23 + 0,618 * (-0,12 + 6,23) = -2,46

y₁⁽²⁾ = y₂⁽¹⁾ = -19,88

y₂⁽²⁾ = (-2,46)² + 9 * (-2,46) = -16,09

y₁⁽²⁾ < y₂⁽²⁾

Отрезок [a₃, b₃] = [a₂, x₂⁽²⁾] = [-6,23, -2,46]

x₁⁽³⁾ = -6,23 + 0,382 * (-2,46 + 6,23) = -4,79

x₂⁽³⁾ = x₁⁽²⁾ = x₂⁽¹⁾ = x₁⁽⁰⁾ = -3,89

y₁⁽³⁾ = (-4,79)² + 9 * (-4,79) = -20,17

y₂⁽³⁾ = y₁⁽²⁾ = - 19,88

y₁⁽³⁾ < y₂⁽³⁾

Отрезок [a₄, b₄] = [a₃, x₂⁽³⁾] = [-6,23, -3,89]

x₁⁽⁴⁾ = -6,23 + 0,382 * (-3,89 + 6,23) = -5,34

x₂⁽⁴⁾ = x₁⁽³⁾ = -4,79

y₁⁽⁴⁾ = (-5,34)² + 9 * (-5,34) = -19,55

y₂⁽⁴⁾ = y₁⁽³⁾ = -20,17

y₁⁽⁴⁾ > y₂⁽⁴⁾

Отрезок [a₅, b₅] = [x₁⁽⁴⁾, b₄] = [-5,34, -3,89]

x₁⁽⁵⁾ = x₂⁽⁴⁾ = x₁⁽³⁾ = -4,79

x₂⁽⁵⁾ = -5,34 + 0,618 * (-3,89 + 5,34) = -4,45

y₁⁽⁵⁾ = y₂⁽⁴⁾ = -20,17

y₂⁽⁵⁾ = (-4,45)² + 9 * (-4,45) = -20,25

y₁⁽⁵⁾ > y₂⁽⁵⁾

Отрезок [a₆, b₆] = [x₁⁽⁵⁾, b₅] = [-4,79, -3,89]

x₁⁽⁶⁾ = x₂⁽⁵⁾ = -4,45

x₂⁽⁶⁾ = - 4,79 + 0,618 * (-3,89 + 4,79) = -4,24

y₁⁽⁶⁾ = y₂⁽⁵⁾ = -20,25

y₂⁽⁶⁾ = (-4,24)² + 9 * (-4,24) = -20,19

y₁⁽⁶⁾ < y₂⁽⁶⁾

Отрезок [a₇, b₇] = [a₆, x₂⁽⁶⁾] = [-4,79, -4,24]

x₁⁽⁷⁾ = -4,79 + 0,382 * (-4,24 + 4,79) = -4,58

x₂⁽⁷⁾ = x₁⁽⁶⁾ = x₂⁽⁵⁾ = -4,45

y₁⁽⁷⁾ = (-4,58)² + 9 * (-4,58) = 20,2436

y₂⁽⁷⁾ = y₁⁽⁶⁾ = -20,25

y₁⁽⁷⁾ > y₂⁽⁷⁾

Отрезок [a₈, b₈] = [x₁⁽⁷⁾, b₇] = [-4,58, -4,24]

Поскольку длина отрезка составляет Δ₈ = b₈-a₈= -4,24+4,58 < ε = 0,5, условие окончания поиска выполняется.

Вывод: Минимум функции находится на отрезке [-4,58 , -4,24]. Количество итераций равно 8 при 9 вычислениях функции. В качестве искомой точки выбираем середину отрезка [a₈, b₈] x*= -4,41. Значение функции в этой точке равно -20,25

9. Расчёт минимума функции методом Фибоначчи

Задаемся константой различимости δ = 0,03 < ε и выбираем количество расчетов n из условия F_n > = = 8:

F₆ =13 > 8, следовательно количество расчётов n = 6.

Рассчитываем точки на отрезке [a₀, b₀]; k=0:

x₁⁽⁰⁾ = -10 + (6+10) * F₄/ F₆ = -10 + 16 * 5/13= -3,85

x₂⁽⁰⁾ = -10 + (6+10) * F₅/ F₆ = -10 + 16 * 8/13= -0,16

и значение функции в этих точках:

y₁⁽⁰⁾ = f(x₁⁽⁰⁾) = (-3,85)² + 9 * (-3,85) = -19,83

y₂⁽⁰⁾ = f(x₂⁽⁰⁾) = (-0,16)² + 9 * (-0,16) = -1,42

y₁⁽⁰⁾ < y₂⁽⁰⁾, рассчитываем границы нового отрезка:

a₁ = a₀ = -10

b₁ = x₂⁽⁰⁾ = -0,16

Для отрезка [a₁, b₁] = [-10, -0,16] рассчитываем новые точки; k =1:

x₁⁽¹⁾ = -10 + (-0,16 +10) * 3/8 = -6,31

x₂⁽¹⁾ = x₁⁽⁰⁾ = -3,85

y₁⁽¹⁾ = (-6,31)² + 9 * (-6,31) = -16,98

y₂⁽¹⁾ = y₁⁽⁰⁾ = -19,83

y₁⁽¹⁾ > y₂⁽¹⁾

Отрезок [a₂, b₂] = [x₁⁽¹⁾, b₁] = [-6,31, -0,16]; k=2:

x₁⁽²⁾ = x₂⁽¹⁾ = -3,85

x₂⁽²⁾ = -6,31 + (-0,16 + 6,31) * 3/5 = -2,62

y₁⁽²⁾ = y₂⁽¹⁾ = -19,83

y₂⁽²⁾ = (-2,62)² + 9 * (-2,62) = -16,72

y₁⁽²⁾ < y₂⁽²⁾

Отрезок [a₃, b₃] = [a₂, x₂⁽²⁾] = [-6,31, -2,62]; k=3:

x₁⁽³⁾ = -6,31 + (-2,62 + 6,31) * 1/3 = -5,08

x₂⁽³⁾ = x₁⁽²⁾ = -3,85

y₁⁽³⁾ = (-5,08)² + 9 * (-5,08) = -20

y₂⁽³⁾ = y₁⁽²⁾ = -19,92

y₁⁽³⁾ < y₂⁽³⁾

Отрезок [a₄, b₄] = [a₃, x₂⁽³⁾] = [-6,31, -3,85];

Поскольку на данном шаге k=n-2= 4 точки x₁⁽⁴⁾ и x₂⁽⁴⁾ совпадают и соответствую середине отрезка x₁⁽⁴⁾ = x₁⁽³⁾ = x₂⁽⁴⁾ = -5,08 для обеспечения заданной точности перемещаем точку последнего вычисления функции вправо на величину константы различимости δ :

x₂⁽⁴⁾ = -5,08 + 0,03 = -5,05

y₂⁽⁴⁾ = (-5,05)² + 9 * (-5,05) = -19,95

Так как y₁⁽⁴⁾ = y₁⁽³⁾ = -19,92 > y₂⁽⁴⁾, получаем конечный отрезок:

[a₅, b₅] = [-5,08, -3,85];

За точку минимума принимаем середину отрезка x^* = (a_{5 +} b₅)/2 = (-5,08 – 3,85)/2 = -4,46

Вывод: Минимум функции соответствует точке -4,46, значение функции в этой точке -20,2484. Количество итераций равно 5 при 6 расчетах целевой функции.

Заключение