5. Определение начального отрезка унимодальности

Для определения отрезка унимодальности используем начальные вычисления метода обратного переменного шага для заданной начальной точки x₀ = 14 и начальном шаге ∆ = -8. f(x₀) = f(14) = 322; f(x₀ + Δ₀) = f(14 - 8) = 90 ; f(x₀ + Δ0) < f(x₀) ; f(x₀ + 2 Δ₀) = f(14 - 16) =-16 ; f(-2) < f(6) ; f(x₀ + 3 Δ₀) = f(14 - 24) = 10 ; f(-10) > f(-2) и т.о. точка минимума 6 > x* >-10 . Вывод: минимум функции находится на отрезке [-10, 6] , который можно принять в качестве начального отрезка унимодальности.

6. Расчёт минимума функции методом локализации оптимума

Делим исходный отрезок на четыре равные части и рассчитываем значения функции в полученных точках:

y₁ =f(x₁) =f(2) = 22

y₂ =f(x₂) =f(-2) = -16

y₃ =f(x₃) =f(-6) = -18

Учитывая, что значения функции на концах исходного отрезка известны и минимум достигается в точке x₃= -18, получаем новый отрезок унимодальности [-10 ; -2]. Проверяем условие окончания поиска: Δ₁ = b₁-a₁= -2+10 > ε = 0,5 и продолжаем решение.

Делим новый отрезок на четыре равные части и рассчитываем значения функции в полученных точках.

y₁ =f(x₁) =f(-4) = -20

y₂ =f(x₂) =f(-6) = -18

y₃ =f(x₃) =f(-8) = -8

Поскольку минимум достигается в точке x₁ =-4, получаем новый отрезок унимодальности [-6 ; -2]. Проверяем условие окончания поиска: Δ₂ = b₂-a₂= -2+6 > ε = 0,5 и продолжаем решение.

Вновь делим новый отрезок на четыре равные части и рассчитываем значения функции в полученных точках:

y₁ =f(x₁) =f(-3) = -18

y₂ =f(x₂) =f(-4) = -20

y₃ =f(x₃) =f(-5) = -20

Поскольку минимум достигается в точке x₂ =-4, получаем новый отрезок унимодальности [-6 ; -4]. Проверяем условие окончания поиска: Δ₃ = b₃-a₃= -4+6 > ε = 0,5 и продолжаем решение.

Вновь делим новый отрезок на четыре равные части и рассчитываем значения функции в полученных точках:

y₁ =f(x₁) =f(-4,5) = -20,25

y₂ =f(x₂) =f(-5) = -20

y₃ =f(x₃) =f(-5,5) = -19,25

Поскольку минимум достигается в точке x₁ =-4,5, получаем новый отрезок унимодальности [-5 ; -4]. Проверяем условие окончания поиска: Δ₄ = b₄-a₄= -4+5 > ε = 0,5 и продолжаем решение.

Вновь делим новый отрезок на четыре равные части и рассчитываем значения функции в полученных точках:

y₁ =f(x₁) =f(-4,25) = -20,19

y₂ =f(x₂) =f(-4,5) = -20,25

y₃ =f(x₃) =f(-4,75) = -20,19

Поскольку минимум достигается в точке x₂ =-4,5, получаем новый отрезок унимодальности [-4,75 ; -4,25]. Проверяем условие окончания поиска: Δ₅ = b₅-a₅= -4,25+4,75 = ε = 0,5 и продолжаем решение.

Вновь делим новый отрезок на четыре равные части и рассчитываем значения функции в полученных точках:

y₁ =f(x₁) =f(-4,375) = -20,23

y₂ =f(x₂) =f(-4,5) = -20,25

y₃ =f(x₃) =f(-4,625) = -20,23

Поскольку минимум достигается в точке x₂ =-4,5, получаем новый отрезок унимодальности [-4,625 ; -4,375]. Проверяем условие окончания поиска: Δ₆ = b₆-a₆= -4,375+4,625 < ε = 0,5 , условие окончания поиска выполняется.

Вывод:

Конечный отрезок унимодальности [-4,625 ; -4,375]. Принимаем за оптимальную точку его середину x^* = -4,5. Значение функции в этой точке равно -20,25, количество итераций – 6 при 13 вычислениях функции.

7. Расчёт минимума функции методом половинного деления

Выбираем значение окрестности равной константе различимости δ= 0,03 < ε.

Выбираем две точки, симметрично расположенные относительно середины отрезка [a₀, b₀]:

x₁⁽⁰⁾ = (-10 + 6)/2 – 0,03 = -2,03

x₂⁽⁰⁾ = (-10 + 6)/2 + 0,03 = -1,97

и рассчитываем значение функции в этих точках:

y₁⁽⁰⁾ =f(x₁⁽⁰⁾) = (-2,03)² + 9 * (-2,03) = -14,15

y₂⁽⁰⁾ =f(x₂⁽⁰⁾) = (-1,97)² + 9 * (-1,97) = -13,85

Так как y₁⁽⁰⁾ < y₂⁽⁰⁾, определяем границы нового отрезка:

a₁ = a₀ = -10

b₁ = x₂⁽⁰⁾ = -1,97

Вновь выбираем две точки на отрезке [a₁, b₁]:

x₁⁽¹⁾ = (-10 - 1,97)/2 – 0,03 = -6,01

x₂⁽¹⁾ = (-10 - 1,97)/2 + 0,03 = -5,95

и рассчитываем значение функции в этих точках:

y₁⁽¹⁾ = (-6,01)² + 9 * (-6,01) = -17,97

y₂⁽¹⁾ = (-5,95)² + 9 * (-5,95) = -18,15

Поскольку y₁⁽¹⁾ > y₂⁽¹⁾ , границы нового отрезка:

a₂ = x₁⁽¹⁾ = -6,01

b₂ = b₁ = -1,97

Проверяем условие окончания оптимизации и так как Δ₂ = b₂ - a₂= -1,97+6,01= 4,04 >0,5 , продолжаем поиск.

Отрезок [a₂, b₂] = [x₁⁽¹⁾, b₁] = [-6,01, -1,97]

x₁⁽²⁾ = -4,02

x₂⁽²⁾ = -3,96

y₁⁽²⁾ = -20,02

y₂⁽²⁾ = -19,96

a₃ = a₂ = -6,01

b₃ = x₂⁽²⁾ = -3,96

Проверяем условие окончания оптимизации и так как Δ₃ = b₃ – a₃= -3,96+6,01= 2,05 >0,5 , продолжаем поиск.

Отрезок [a₃, b₃] = [a₂, x₂⁽²⁾] = [-6,01, -3,96]

x₁⁽³⁾ = -5,01

x₂⁽³⁾ = -4,95

y₁⁽³⁾ = -19,99

y₂⁽³⁾ = -20,05

Отрезок [a₄, b₄] = [x₁⁽³⁾, b₃] = [-5,01, -3,96]

x₁⁽⁴⁾ = -4,51

x₂⁽⁴⁾ = -4,45

y₁⁽⁴⁾ = -20,2499

y₂⁽⁴⁾ = -20,2475

Отрезок [a₅, b₅] = [a₄, x₂⁽⁴⁾] = [-5,01, -4,45]

x₁⁽⁵⁾ = -4,76

x₂⁽⁵⁾ = -4,7

y₁⁽⁵⁾ = -20,19

y₂⁽⁵⁾ = -20,21

Отрезок [a₆, b₆] = [x₁⁽⁵⁾, b₅] = [-4,76, -4,45]

Проверяем условие окончания оптимизации и так как Δ₆ = b₆ – a₆= -4,45+4,76= 0,31 < ε = 0,5 условие окончания поиска выполняется.

За точку локального минимума, найденную с заданной точностью принимаем середину отрезка [a₆, b₆]:

x^* ≈ (a₆ + b₆)/2 = (-4,76-4,45)/2 = -4,6

Значение функции в этой точке:

f(x^*) = (-4,6)² + 9 * (-4,6) = 20,24

Конечный отрезок унимодальности [-4,76 , -4,45]. Принимаем за оптимальную точку середину этого отрезка x* = -4,6. Значение функции в этой точке равно -20,24, количество итераций равно 6 при 12 вычислений функции.