Исходные данные:

f(x) = х²+9х

x⁽⁰⁾ = 14

ε = 0,5

δ = 0,03

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Для заданной целевой функции найти аналитическое решение задачи одномерной минимизации f(x) min, x∈X (X⊂R) и найти промежуток (X⊂R), на котором функция унимодальна. 2. Произвести графический анализ функции с отображением первой и второй ее производных. 3. Найти минимум функции методом обратного переменного шага для заданной точности ε и начальной точки x₀ . 4. Найти минимум функции методом Пауэлла для заданной точности ε и начальной точки x₀. 5. Определить начальный промежуток унимодальности [a₀, b₀], взяв за основу первые несколько шагов метода обратного переменного шага. 6. Найти минимум функции методом локализации оптимума для заданной точности ε . 7. Определить минимум функции методом половинного деления для заданной точности ε и константы различимости δ. 8. Найти минимум функции методом золотого сечения с заданной точностью. 9. Произвести поиск минимума функции методом Фибоначчи для заданной точности ε и константы различимости δ.

1. Аналитический анализ функции

Представленная функция и ее производные непрерывны, поэтому определяем первую производную и приравниваем ее к 0, т.е f '(x) = 2x + 9 = 0 ;

Откуда следует, что функция имеет один экстремум в точке x^* = -4,5

Далее находим значение второй производной в точке x^*: f ''(x^*) = 2 > 0, т.е. в указанной точке имеем глобальный минимум функции, который составляет: f(x^*)= (-4,5)²+ 9·(-4,5)= -20,25 Поскольку вторая производная всегда положительна, функция унимодальна на интервале (-∞, ∞).

2. Графический анализ функции

Построим график функции, ее первой и второй производных в окрестности точки x^*.

Рис 1. Графический анализ функции

Полученные кривые подтверждают выводы, сделанные при аналитическом анализе.

3. Поиск минимума методом обратного переменного шага

Принимаем величину начального шага ∆₀ = 6, а коэффициент сжатия β = 0,4.

Для определения знака Δ в начальной точке x₀ = 14 сравним значения

f(x₀) = f(14) = 322

f(x₀ + h₀) = f(20) = 580

f(x₀ - h₀) = f(8) = 136

Поскольку f(x₀ + Δ₀ ) > f(x₀) > f(x₀ – Δ₀ ) , то величина шага должна быть отрицательной, т.е. Δ₀ = - 6.

Таким образом имеем x₁ = x₀ + Δ₀ = 14 – 6 = 8, x₀⁽¹⁾ = x₁.

Координаты следующей точки x₁⁽¹⁾ = x₀⁽¹⁾ + Δ₀ = 2, в которой y₁⁽¹⁾ = f(2) = 22 . Т.к. y₁⁽¹⁾ = f(x₁⁽¹⁾) =22 < y₁⁽¹⁾ = f(x₀⁽¹⁾) = 136 принимаем x₀⁽²⁾ = x₁⁽¹⁾ и продолжаем движение.

x₁⁽²⁾ = x₀⁽²⁾ + Δ₀ = -4; y₁⁽²⁾ = f(x₁⁽²⁾) = -20 < y₀⁽²⁾ = f(x₀⁽²⁾) =22, продолжаем движение.

Дальнейшую последовательность вычислений представим в виде пар координат x_i^(k) y_i^(k), где i= 0; 1, а верхний индекс k является номером очередного шага сканирования.

x₀⁽³⁾ = x₁⁽²⁾ = -4; x₁⁽³⁾ = x₀⁽³⁾ + Δ₀ = -10; y₁⁽³⁾ = 10 > y₀⁽³⁾ = -20, значение функции в новой точке увеличилось и т.к. Δ₀ > ε = 0,5 уменьшаем шаг Δ₁ = 2,4 и продолжаем движение.

x₀⁽⁴⁾ = x₁⁽²⁾ = -4; x₁⁽⁴⁾ = x₀⁽⁴⁾ + Δ₁ = -1,6; y₁⁽⁴⁾ = -11,84 > y₀⁽⁴⁾ = -20, значение функции в новой точке увеличилось и т.к. Δ₁> ε = 0,5 уменьшаем шаг Δ₂ = -0,96 и продолжаем движение.

x₀⁽⁵⁾ = x₁⁽²⁾ = -4; x₁⁽⁵⁾ = x₀⁽⁵⁾ + Δ₂ = -4,96; y₁⁽⁵⁾ = -20,04 < y₀⁽⁵⁾ = -20.

x₀⁽⁶⁾ = x₁⁽⁵⁾ = -4,96; x₁⁽⁶⁾ = x₀⁽⁶⁾ + Δ₂ = -5,92; y₁⁽⁶⁾ = -18,24 > y₀⁽⁶⁾ = -20,04, значение функции в новой точке увеличилось и т.к. Δ₂ > ε = 0,5 уменьшаем шаг Δ₃ = 0,38 и продолжаем движение.

x₀⁽⁷⁾ = x₁⁽⁵⁾ = -4,96; x₁⁽⁷⁾ = x₀⁽⁷⁾ + Δ₃ = -4,58; y₁⁽⁷⁾ = -20,25 < y₀⁽⁷⁾ = -20,04

x₀⁽⁸⁾ = x₁⁽⁷⁾ = -4,58; x₁⁽⁸⁾ = x₀⁽⁸⁾ + Δ₃ = -4,2; y₁⁽⁸⁾ = -20,16 < y₀⁽⁸⁾ = -20,25

Значение функции в последней точке возросло, а поскольку Δ₃ = 0,38 < ε = 0,5, поиск можно прекратить.

Вывод: Минимум функции достигается в точке x^* ≈ x₀⁽⁸⁾ = -4,58 с погрешностью ε = 0,5. Количество итераций равно 8 при 11 вычислениях функции. Значение функции в этой точке равно -20,25.

4. Поиск минимума методом Пауэлла

Принимаем величину начального шага Δx = 6 для начальной точки x₀ = 14.

Вычисляем x₁ = x₀ + Δx =14 + 6 =20; y₀ = f(14) = 322 и y₁ = f(x₁) = 580.

Поскольку y₀ ≤ y₁ , x₂ = x₀ - Δx =14 – 6 = 8 ; y₂ = f(x₂) = f(8) = 136.

Используя значения x₀ , x₁ , x₂ и y₀ , y₁ , y₂ вычисляем x^* с помощью квадратичной аппроксимации:

a₀ = y₀ = 322;

a₁ = = = 43

a₂ = = = 1

x^* ≈ - = - = 17 – 21,5 = -4,5

Проверяем условие окончания поиска

= = > ε = 0,5 и продолжаем поиск.

Отбрасываем точку с наибольшим значением целевой функции, т.е. y₁ = y_max = 580 при x₁ = 20.

Для оставшихся точек x₀ = 14 , x1 = -4,5 , x2 = 8 рассчитываем новые коэффициенты полинома:

a₀ = y₀ = 322;

a₁ = = = 16,31

a₂ = = = 1,17

x^* ≈ - = - = 4,75 – 6,97 = -2,22

Проверяем условие окончания поиска

= = < ε = 0,5

Условие окончания поиска выполняется, поэтому поиск можно прекратить.

Вывод: Минимум функции достигается в точке x^* ≈ - 4,5. Количество итераций равно 2 при 4 вычислениях функции. Значение функции в этой точке равно -20,25.