Расчет трех итераций
В сценарии пакета Scilab создать функцию, реализующую метод итераций, предусмотрев вывод данных, требуемый для заполнения следующей таблицы.
-
// Метод Ньютона
function ff=f(x) //левая часть уравнения
ff=1-3*x+cos(x);
endfunction
function ff=f1(x) // первая производная от f(x)
ff=-3-sin(x);
endfunction
// Расчет 3-х итераций по методу итераций
disp(' n x f(x)')
n=0; x=0; fx=f(x); z=[n,x,fx];
z
for n=1:3
x=x-f(x)/f1(x); fx=f(x); z=[n,x,fx]
end
--> x=0;
--> exec('nuton.sce',0);
n x f(x)
z =
0. 0. 2.
z =
1. 0.66667 -0.21411
z =
2. 0.60749 -0.0014
z =
3. 0.6071 -6.3D-08
k |
Xk |
f(xk) |
0 |
0 |
2 |
1 |
0.62001 |
-0.21411 |
2 |
0.60712 |
-0. 0014 |
3 |
0.60710 |
-6.3 •10-8 |
Погрешность численного решения нелинейных уравнений
Оценим погрешность после трех итераций по формуле:
, где
Метод хорд
1. Исследование задания
Проверка
выполнения условий сходимости.
Для сходимости метода необходимо
знакопостоянство
на отрезке [a;b].
Выбор начального приближения. Вид рекуррентной формулы зависит от того, какая из точек a или b является неподвижной. Неподвижен тот конец отрезка [a;b] , для которого знак функции f(x)совпадает со знаком ее второй производной. Тогда второй конец отрезка можно принять за начальное приближение к корню, то есть точку х0.
Рекуррентная формула метода хорд в [1]:
где
- неподвижная точка.
Выше было показано,
что для функции f(x)=1–3x+cosx
<0
на отрезке [0;1]неподвижной
точкой является точка x=b=1,
так как
f(1)>0.
Таким образом, полагая x0=a=0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.
В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид
2. Расчет трех итераций
Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:
В сценарии пакета Scilab создать функцию, реализующую метод итераций, предусмотрев вывод данных, требуемый для заполнения следующей таблицы.
-
// Метод хорд
functionff=f(x) //Левая часть уравнения
ff=1-3*x+cos(x);
endfunction
// Расчет 3-х итераций по методу итераций
disp(' n x f(x)')
n=0; x=0; fx=f(x); z=[n,x,fx];
z
for n=1:3
x=x-f(x)/(f(xx)-f(x))*(xx-x); fx=f(x); z=[n,x,fx]
end
--> xx=1;
--> exec('xord.sce',0);
n x f(x)
z =
0. 0. 2.
z =
1. 0.57809 0.10325
z =
2. 0.60596 0.00408
z =
3. 0.60706 0.00016
n |
Xn |
f(xn) |
0 |
0 |
2 |
1 |
0.5781 |
0.10325 |
2 |
0.6441 |
0.00408 |
3 |
0.6070 |
0.00016 |