6.4. Содержание отчета

1. Индивидуальное задание, целевая функция, метод для ручного расчета 3-х итераций и метод для программного расчета с заданной точностью.

2. Результаты проверки условия существования точки минимума функции f(x,y).

3. Аналитическое решение задачи оптимизации.

4. Выбор начальной точки численного процесса оптимизации.

5. Результаты решения задачи оптимизации 1-м методом (3 итерации), представленные в табл. 6-2.

Таблица 6-2

k	x	y
0
1
2
3

6. Программа и результаты ее выполнения 2-м методом оптимизации.

7. График 2-х траекторий спуска к точке минимума (3 итерации).

8. Результаты выполнения задания, полученные с помощью математического пакета Scilab.

6.5. Пример выполнения задания

1. Задание для решения задачи многомерной оптимизации:

• функция – ;

• метод оптимизации для «ручного расчета» - значение параметра p=3;

• метод оптимизации для расчета на ПК – значение параметра t=1.

2. Проверка существования минимума функции

Известно, что всякий глобальный минимум выпуклой функции является одновременно и локальным.

Проверим, что функция является выпуклой на множестве R.

Матрица Гессе для функции :

,

а угловые миноры:

.

Таким образом, функция - выпуклая на множестве R.

3. Решение задачи многомерной оптимизации аналитическим методом

Необходимые условия существования точки экстремума:

откуда .

4. Начальная точка итерационного процесса численного решения задачи многомерной оптимизации

Выберем начальную точку спуска - .

5. Пример выполнения 1-й итерации методом наискорейшего спуска (НСА):

Вывод формулы для расчета шага спуска:

где

Построим функцию

,

Из условия определим параметр :

, k=0, 1,…

Пример выполнения 1-й итерации по методу НСА:

1. 

Важно: Аналогично выполнить еще 2 итерации, полученные результаты свести в таблицу:

k	x	y				k
0	1	0.5	27.75	2	3	0.2097
1	0.5806	-0.1290	26.3871	1.1613	-0.7742	0.3095
2	0.2212	0.1105	26.0857	0.4424	0.66359	0.2097
3	0.1284	-0.0285	26.0189

После 3-х итераций: Xmin=0.1284, ymin=-0.0285, f=21.0189.

Пример выполнение 1-й итерации по методу ГДШ:

λ=0.5;

1) λ₀ =λ

Проверим условие ГДШ:

да

_{Следовательно}:

Важно: Аналогично выполнить еще 2 итерации, полученные результаты свести в таблицу:

k	x	y				k
0	1	0.5	27.75	2	3	0.125
1	0.75	0.125	26.75	1.5	0.75	0.25
2	0.375	-0.0625	26.1523	0.75	-0.375	0.25
3	0.1875	0.0313	26.0318

После 3-х итераций: Xmin=0.1875, ymin=0.0313, f=26.0318.