курсовая / 00_course_work_report
.pdf
2023 «Курсовая_работа.docx» Тогда изображение переходной характеристики цепи равно:
H(p) |
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
F1(p) |
|
|||||
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
= |
|
. |
|
p |
p |
2 + pτRC |
2p + p2τRC |
pτRC (p + |
2 |
) |
F2(p) |
(142) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τRC |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как степень полинома F1(p), ноль, меньше, чем степень полинома F2(p),
два, переход к оригиналу можно выполнить с помощью теоремы разложения.
Для этого необходимо определить корни и производную полинома F2(p):
2
корни – p1 = 0, p2 = − τRC,
производная – F2′ (p) = 2 + 2pτRC.
Тогда оригинал g(t) можно найти по следующей формуле:
(143)
(144)
|
|
2 |
|
F1(pk) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(t) = ∑ ( |
epk t) = |
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
F′ |
(p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
(− |
2 |
|
) |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
τRC |
|
|
|
|
|
(145) |
|||
= |
e0 t + |
|
|
|
|
|
|
e−τRC t = |
||||||||
2 + 2 0 τRC |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
2 + 2 (− |
|
|
) τRC |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τRC |
|
|||||||
= 1 − 1 e−τ2 t.
RC
2 2
2
Таким образом, переходная характеристика цепи g(t) равна 12 − 12 e−τRCt.
График зависимости переходной характеристики от времени t [0, 10−8, . . , 10−5] представлен ниже на рисунке 48.
71
2023 «Курсовая_работа.docx»
Рисунок 48. График зависимости переходной характеристики цепи от времени
2.3.5 ВЫЧИСЛЕНИЕ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПИ
Импульсная характеристика цепи h(t) числено совпадает с реакцией цепи на воздействие в виде дельта-функции (функции Дирака) δ(t):
(146)
Найти импульсную характеристику h(t) можно с помощью операторного метода, получив оригинал изображения реакции цепи U2(p) на изображение воздействия U1(p).
Изображение единичной ступенчатой функции δ(t) равно 1.
Операторное выражение реакции цепи U2(p) на воздействие U1(p) = 1
определяется с помощью операторной передаточной функции цепи по напряжению H(p):
U2(p) = U1(p) H(p) = 1 H(p). |
(147) |
Тогда изображение переходной характеристики цепи равно:
H(p) |
|
1 |
1 |
|
|
|
F1 |
(p) |
|
||
|
= 1 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
. |
|
p |
2 + pτRC |
τRC (p + |
2 |
) |
F2 |
(p) |
(148) |
||||
|
|
|
|
τRC |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
2023 «Курсовая_работа.docx»
Так как степень полинома F1(p), ноль, меньше, чем степень полинома один, переход к оригиналу можно выполнить с помощью теоремы разложения. Для этого необходимо определить корень и производную полинома F2(p):
2
корни – p1 = − τRC, производная – F2′ (p) = τRC.
Тогда оригинал h(t) можно найти по следующей формуле:
F2(p),
(149)
(150)
1 |
|
|
|
|
|
(− |
|
2 |
) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1(pk) |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
h(t) = ∑ ( |
|
epk t) = |
|
τRC |
|
e− |
|
t = |
e− |
|
|
t. |
(151) |
|||||||||
|
|
|
τRC |
τRC |
||||||||||||||||||
|
τ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
F′ |
(p |
) |
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k=1 |
2 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e− |
2 |
t. |
|||
Таким образом, импульсная характеристика цепи h(t) равна |
τRC |
|||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
График зависимости импульсной характеристики от времени t [0, 10−8, . . , 10−5] представлен ниже на рисунке 49.
Рисунок 49. График зависимости импульсной характеристики цепи от времени
73
2023 «Курсовая_работа.docx»
2.3.6 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ И
АМПЛИТУДНОГО СПЕКТРА ВХОДНОГО СИГНАЛА
Входной сигнал uВХ(t) – видеоимпульс прямоугольной формы,
описанный формулой (126) и изображённый на рисунке 41. Мгновенное
значение входного сигнала имеет следующий вид: |
|
uВХ(t) = V 1(t) − V 1(t − τ), |
(152) |
где умножение функции 1(t) на V означает, что эта функция существует только при времени t ≥ 0;
умножение функции 1(t − τ) на −V означает, что эта функция существует только при t ≥ τ.
Если некоторой функции мгновенных значений f(t) соответствует изображение F(jω), то функции, задержанной на интервал времени τ,
соответствует изображение F(jω) e−jωτ. Следовательно, входному сигналу uВХ(t) соответствует изображение:
SВХ(jω) = V ( |
1 |
− |
1 |
e−jωτ), |
(153) |
|
jω |
jω |
|||||
|
|
|
|
где SВХ(jω) – комплексная спектральная плотность входного сигнала;
jω1 – комплексная спектральная плотность функции 1(t).
Необходимо осуществить вывод выражения SП(jω), являющегося прямым преобразованием Фурье функции входного сигнала uВХ(t).
τ τ
SП(jω) = ∫ uВХ(t) e−jωt dt = ∫ V e−jωt dt. |
(154) |
|
0 |
0 |
|
Для вычисления определённого интеграла, необходимо найти неопределённый интеграл и подставить пределы интегрирования в найденный неопределённый интеграл. Вычисление искомого неопределённого интеграла осуществляется методом замены.
74
2023 «Курсовая_работа.docx» Замена в неопределённом интеграле:
|
|
q = −jωt |
V |
|
|
||||
∫ V e−jωt dt = [dq = −jωtdt] = − |
|
|
|
∫ eq dq, |
|||||
jω |
|||||||||
|
|
|
aq |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ eq dq = [ |
|
, a = e] = eq, |
|
|
|||
|
|
ln (a) |
|
|
|||||
− |
V |
∫ eq dq = [∫ eq dq = eq] = − |
V |
eq. |
|||||
|
|
||||||||
jω |
jω |
||||||||
Обратная замена в неопределённом интеграле:
− jωV eq = − jωV e−jωt.
Итоговый неопределённый интеграл равен:
∫ V e−jωt dt = − jωV e−jωt + С,
где C – константа интегрирования.
Итоговый определённый интеграл равен:
|
τ |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ V e−jωt dt = − |
|
|
|
e−jωτ − (− |
|
|
|
e−jω0) = |
|
|
(1 − e−jωτ). |
||||||||||||||||||||||||
jω |
jω |
jω |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразования упрощения дроби: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
jωτ |
e− |
jωτ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jωτ |
|
|
|
|
|
|
|
e− 2 |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
(1 − e−jωτ) = |
|
|
e− 2 ( |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
) = |
||||||||||||
|
|
|
jω |
|
jω |
−jωτ |
|
|
−jωτ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
V |
|
|
−jωτ |
jωτ |
|
−jωτ |
|
1 |
|
|
|
|
2V |
|
|
−jωτ |
jωτ |
−jωτ |
|||||||||||||||
= |
|
|
e 2 |
|
(e 2 − e |
2 ) 2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
e |
|
2 (e 2 − e |
2 ) = |
||||||||||||||||
|
jω |
|
2 |
|
2jω |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2V e− |
|
2 ( 1 (e 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
|
− e− |
2 |
|
)) = 2V sin (ωτ) e− 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
jωτ |
|
|
|
|
jωτ |
jωτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jωτ |
|||||
|
|
|
ω |
|
|
|
|
2j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
(155)
(156)
(157)
(158)
(159)
75
2023 «Курсовая_работа.docx» Таким образом, итоговое выражение имеет вид:
τ |
2V sin (ωτ) e− 2 . |
(160) |
|||
SП(jω) = ∫ uВХ(t) e−jωt dt = |
|||||
|
|
|
|
jωτ |
|
0 |
ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо найти амплитудный спектр входного сигнала равен модулю выражения SП(jω):
SП(ω) = |SП(jω)| = |
2V |
|sin ( |
ωτ |
)|. |
ω |
|
|||
|
2 |
|
||
SП(ω). Он
(161)
График зависимости амплитудного спектра SП(ω) входного сигнала от частоты ω [0,10, . . ,3 106] представлен ниже на рисунке 50.
Рисунок 50. График зависимости амплитудного спектра входного сигнала от частоты
76
2023 «Курсовая_работа.docx»
2.3.7 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ И
АМПЛИТУДНОГО СПЕКТРА ВЫХОДНОГО СИГНАЛА
Для расчёта комплексной спектральной плотности выходного сигнала
SВЫХ(jω) можно воспользоваться передаточной функцией цепи H(jω):
H(jω) = |
SВЫХ(jω) |
|
||
|
. |
(162) |
||
SВХ(jω) |
||||
|
|
|
||
Тогда комплексная спектральная плотность выходного сигнала определяется следующим соотношением:
SВЫХ(jω) = SВХ(jω) H(jω), |
(163) |
а итоговая формула для нахождения спектральной плотности выходного сигнала будет иметь вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2V sin (ωτ) e |
−jωτ |
|
|
|
2V |
|
ωτ |
−jωτ |
1 |
|
|
2 |
|
(164) |
||
SВЫХ(jω) = |
|
sin ( |
|
) e 2 |
|
|
|
= |
2 |
|
. |
|
ω |
2 |
|
|
|
2ω + jω2τRC |
|
||||||
|
|
|
2 + jωτRC |
|
|
|||||||
Для расчёта амплитудного спектра выходного сигнала SВЫХ(ω) можно |
||||||||||||
воспользоваться АЧХ передаточной функции цепи H(ω): |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
H(ω) = |
|
SВЫХ(ω) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(165) |
|
|
|
|
|
|
SВХ(ω) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда амплитудный спектр выходного сигнала определяется следующим соотношением:
SВЫХ(ω) = SВХ(ω) H(ω), |
(166) |
а итоговая формула для нахождения амплитудного спектра выходного сигнала будет иметь вид:
|
2V |
|
ωτ |
|
1 |
|
2V |sin ( |
ωτ |
)| |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
SВЫХ(ω) = |
|
|sin ( |
|
)| |
|
|
= |
2 |
|
|
. |
(167) |
||
ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
√4 + ω2τ2 |
√4ω2 + ω4τ2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
RC |
|
|
|
|
77
2023 «Курсовая_работа.docx»
График зависимости амплитудного спектра выходного сигнала SВЫХ(ω) от частоты ω [0,10, . . ,3 106] представлен ниже на рисунке 51.
Рисунок 51. График зависимости амплитудного спектра выходного сигнала от частоты
2.3.8 РАСЧЁТ ФУКЦИИ МГНОВЕННОГО ВЫХОДНОГО
НАПРЯЖЕНИЯ
Необходимо рассчитать функцию мгновенного значения напряжения на выходе цепи uВЫХ(t) (отклик цепи). Для этого используется операторный метод расчёта с использованием операторной передаточной функции H(p):
сперва находится изображение функции мгновенного значения выходного напряжения UВЫХ(p), а потом, с помощью обратного преобразования Лапласа, оригинал uВЫХ(t).
(168)
где UВХ(p) – операторная форма функции мгновенного значения входного напряжения.
78
2023 «Курсовая_работа.docx»
В рамках задачи H(p) выражается формулой (139) из пункта 2.3.3, а UВХ(p) –
как операторное преобразование изображения, описанного формулой (153) в
пункте 2.3.6:
UВХ(p) = V ( |
1 |
|
− |
1 |
e−pτ) = |
V |
(1 − e−pτ). |
(169) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
p |
p |
p |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
Итоговое выражение выходного напряжения в операторной форме равно:
UВЫХ(p) = |
|
1 |
|
|
|
V |
|
(1 − e−pτ) = |
|
1 |
|
|
V (1 − e−pτ). (170) |
||||||||
2 + pτRC |
p |
p(2 + pτRC) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Оригинал дроби |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
был |
найден |
в пункте |
2.3.4. при вычислении |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
p(2+pτRC) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
переходной характеристики цепи (формула 145): |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
(1 − e− |
2t |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τRC |
) ; |
(171) |
||||||||||
|
|
|
|
p(2 + pτRC) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
каждое из слагаемых, входящее в третий сомножитель изображения,
определяет интервал времени, но который смещается составляющая оригинала выходного напряжения: либо на t = 0, либо на t = τ.
Оригинал функции мгновенных |
значений выходного напряжения |
цепи |
||||||
uВЫХ(t), найденный операторным методом, имеет вид: |
|
|||||||
|
V |
|
2t |
|
2(t−τ) |
|
||
uВЫХ(t) = |
[(1 − e− |
|
) 1(t) − (1 − e− |
τRC ) 1(t − τ)]. |
|
|||
τRC |
(172) |
|||||||
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||
График зависимости функции мгновенных значений выходного напряжения цепи от времени t [0, 10−8, . . , 10−5] представлен ниже на рисунке 52.
79
2023 «Курсовая_работа.docx»
Рисунок 52. График зависимости функции мгновенных значений выходного напряжения
цепи от времени
2.3.9 РАСЧЁТНЫЙ ЛИСТ
Построение графиков производилось с помощью программы Mathcad
Prime 8.
Параметры элементов цепи и прочие исходные данные
Данные для различных графиков
Комплексная передаточная функция и графики её АЧХ и ФЧХ
Переходная характеристика цепи и её график
80