курсовая / 00_course_work_report
.pdf
2023 «Курсовая_работа.docx»
2.2.3 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНЫХ ТОКОВ В ВЕТВЯХ МЕТОДОМ
УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Для расчёта комплексных токов в ветвях методом узловых потенциалов сперва необходимо приравнять потенциал последнего узла к нулю. В рамках задачи потенциал V2 второго узла равен нулю (V2 = 0 В). Схема, используемая при расчёте, представлена на рисунке 24.
Рисунок 24. Исследуемая цепь с потенциалом V2 = 0 В.
Далее необходимо рассчитать количество уравнений (N). Оно рассчитывается по следующей формуле:
N = Nу − Nи − 1, |
(80) |
где Nи – количество ветвей, где содержатся только идеальные источники ЭДС.
В рамках задачи: Nу = 2, Nи = 0, тогда количество уравнений равно одному.
41
2023 «Курсовая_работа.docx»
Необходимо составить систему с рассчитанным количеством уравнений,
по следующему правилу:
G11 V1 = ∑ EG, |
(81) |
где G11 – сумма проводимостей ветвей, присоединённых к первому узлу;
∑ EG – сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к первому узлу, на их проводимость. Если ЭДС направлена к узлу, то она положительна, иначе – отрицательна.
В рамках задачи вышеуказанные величины рассчитываются следующим образом:
G11 |
= |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
, |
|
|
(82) |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Z1 |
Z2 |
Z3 |
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||
∑ EG = E1 |
|
− E2 |
|
, |
(83) |
|||||||||
Z |
Z |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
||
|
V = |
G11 |
. |
|
|
|
|
(84) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
∑ EG |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Далее необходимо вычислить истинные значения токов с помощью обобщённого закона Ома:
I = |
V1 − V2 + ∑ E |
, |
(85) |
|
Z
где ∑ E – алгебраическая сумма ЭДС в ветви (знак ЭДС определяется аналогично формуле (81));
Z – общее сопротивление ветви.
42
2023 «Курсовая_работа.docx»
Тогда значения комплексных токов I1-3 вычисляются по следующим формулам:
I |
= |
−V1 + E1 |
, |
(86) |
||||
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
Z1 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
I2 |
= |
V1 |
, |
|
(87) |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
Z2 |
|
|||
I3 |
= |
−V1 + E2 |
. |
(88) |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
Z3 |
|
|||
Таким образом, комплексные |
|
токи в цепи равны: |
I1 = 5,437-1,694j А, |
|||||
I2 = 5,307-2,537j А, I3 = -0,166-0,843j А.
2.2.4 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНЫХ ТОКОВ В ВЕТВЯХ МЕТОДОМ ДВУХ
УЗЛОВ
Для расчёта комплексных токов в ветвях методом двух узлов сперва необходимо приравнять потенциал последнего узла к нулю. В рамках задачи потенциал V2 второго узла будет равен нулю (V2 = 0 В). Схема, используемая при расчёте, представлена на рисунке 25.
Рисунок 25. Исследуемая цепь с потенциалом V2 = 0 В.
43
2023 «Курсовая_работа.docx»
Далее необходимо определить напряжение между двумя узлами (U12).
Оно рассчитывается по формуле:
U |
= V − V = |
∑ Ekgk |
, |
(89) |
|
|
|||||
12 |
1 |
2 |
∑ gk |
|
|
|
|
|
|
||
где V1 – потенциал первого узла;
∑Ekgk – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей на их проводимость, знак ЭДС определяется аналогично формуле (81);
∑gk – сумма проводимостей ветвей.
В рамках задачи вышеуказанные величины рассчитываются следующим образом:
11
∑Ekgk = E1 Z1 − E2 Z3,
11 1
∑gk = Z1 + Z2 + Z3.
Расчёт истинных токов производится с помощью с помощью обобщённого закона Ома:
I = U12 + ∑ E, Z
где ∑ E – алгебраическая сумма ЭДС в ветви (знак ЭДС определяется аналогично формуле (20));
Z – общее сопротивление ветви.
(90)
(91)
(92)
44
2023 «Курсовая_работа.docx»
Тогда значения комплексных токов I1-3 вычисляются по следующим формулам:
I |
= |
−U12 + E1 |
, |
(93) |
||||
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I2 |
= |
U12 |
, |
|
|
(94) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
I3 |
= |
−U12 + E2 |
. |
(95) |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
Z3 |
|
|
|
|
Таким образом, комплексные |
токи в |
|
цепи равны: |
I1 = 5,437-1,694j А, |
||||
I2 = 5,307-2,537j А, I3 = -0,166-0,843j А. |
|
|
|
|||||
2.2.5 РАСЧЁТОВ КОМПЛЕКСНЫХ ТОКОВ В ВЕТВЯХ МЕТОДОМ
НАЛОЖЕНИЯ
Для расчёта токов в ветвях методом наложения необходимо выбрать направления токов так, чтобы все токи были положительными (сонаправлены ЭДС). Схема исследуемой цепи представлена на рисунке 26.
Рисунок 26. Схема исследуемой цепи.
Далее необходимо рассчитать частичные комплексные токи в дополнительных цепях. Дополнительные цепи получаются путём убирания из
исходной цепи одного из источников ЭДС.
45
2023 «Курсовая_работа.docx»
Сперва необходимо рассчитать комплексные токи в дополнительной цепи, где присутствует только источник ЭДС E1 (V1) (рисунок 27).
Рисунок 27. Схема первой дополнительной цепи.
Для этого необходимо рассчитать комплексный ток полной цепи IE1,
используя закон Ома:
E1
IE1 = (Z1 + Z2 Z3 ). (96) Z2 + Z3
Далее необходимо рассчитать общее напряжение цепи U`1, используя закон Ома:
U` = I |
|
|
Z2 Z3 |
. |
(97) |
|
E1 |
|
|||||
1 |
|
Z |
+ Z |
|
||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
Тогда частичные комплексные токи в ветвях можно будет найти по следующим формулам:
I`1 = IE1, |
(98) |
|||
I`2 = |
U`1 |
, |
(99) |
|
|
|
|||
|
Z2 |
|
||
I`` = |
U`1 |
. |
(100) |
|
|
||||
|
Z |
|
||
|
3 |
|
|
|
46
2023 «Курсовая_работа.docx»
Далее необходимо рассчитать комплексные токи в дополнительной цепи, где присутствует только источник ЭДС E2 (V2) (рисунок 28).
Рисунок 28. Схема второй дополнительной цепи.
Для этого необходимо проделать действия, аналогичные действиям при
расчёте первой дополнительной цепи: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
IE2 |
= |
|
|
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(Z |
+ |
|
Z1 Z2 |
) |
(101) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
Z1 + Z2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U`2 = IE |
|
|
|
Z1 Z2 |
|
, |
|
(102) |
||||||
2 |
|
Z + Z |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
I`` |
= |
|
U`2 |
, |
|
|
|
|
(103) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I`2 = |
U`2 |
, |
|
|
|
|
(104) |
|||||
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(105)
Тогда комплексные токи в ветвях исходной цепи можно найти как алгебраическую сумму частичных комплексных токов. Если направление частичного комплексного тока совпадает с направлением исходного комплексного тока, то частичный комплексный ток положителен, иначе – отрицателен.
47
2023 «Курсовая_работа.docx»
Таким образом, исходные комплексные токи рассчитываются по следующим формулам:
I1 |
= I`1 − I``1, |
(106) |
I2 |
= I`2 + I``2, |
(107) |
I3 = I`` + I```. |
(108) |
|
Исходные комплексные токи в цепи равны: |
I1 = 5,437-1,694j А, |
|
I2 = 5,307-2,537j А, I3 = -0,166-0,843j А. |
|
|
2.2.6 РАСЧЁТ КОМПЛЕКСНЫХ ТОКОВ В ВЕТВЯХ МЕТОДОМ
ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА ЭДС
Необходимо рассчитать комплексный ток I1 в первой ветви. Для расчёта комплексного тока I1 методом эквивалентного генератора ЭДС сперва необходимо «отцепить» ветвь, в которой необходимо найти комплексный ток,
от исходной цепи. Получившаяся цепь изображена на рисунке 29.
Рисунок 29. Схема исследуемой цепи с отцепленной ветвью.
48
2023 «Курсовая_работа.docx»
Далее необходимо найти напряжение холостого хода Uхх. Для этого сперва необходимо найти комплексный ток в преобразованной цепи Iпхх:
Iпхх = |
|
E2 |
. |
(109) |
Z2 |
|
|||
|
+ Z3 |
|
||
Тогда напряжение холостого хода можно найти по формуле:
Uхх = Iпхх Z2. |
(110) |
Эквивалентное ЭДС Eэкв эквивалентного генератора ЭДС будет равно напряжению холостого хода Uхх по значению, но противоположно ему по знаку.
Далее необходимо составить схему, где в цепи с отцепленной ветвью источники ЭДС заменяются их внутренними сопротивлениями, и рассчитать эквивалентное сопротивление получившейся цепи (рисунок 30).
Рисунок 30. Схема цепи, содержащей только сопротивления.
Эквивалентное сопротивление Zэкв можно найти по формуле:
Z = |
Z2 Z3 |
. |
(111) |
|
|
||||
экв |
Z2 |
+ Z3 |
|
|
|
|
|||
После нахождения эквивалентного ЭДС и эквивалентного сопротивления необходимо к отцепленной изначально ветви последовательно присоединить резистор с сопротивлением Zэкв и источник ЭДС с ЭДС Eэкв.
Получившаяся цепь показана на рисунке 31.
49
2023 «Курсовая_работа.docx»
Рисунок 31. Схема цепи с эквивалентным источником ЭДС.
Тогда ток I1 можно найти, используя закон Ома:
I = |
E1 |
− Eэкв |
. |
(112) |
|
|
|||
1 |
Z1 |
+ Zэкв |
|
|
|
|
|||
Комплексный ток I1 равен 5,473-1,694j А.
Необходимо построить график зависимости комплексного тока I1 от времени. Для этого необходимо представить комплексный ток I1 в форме синусоидального закона тока от времени (i1):
i1 = Ia sin(ωt + φi), |
(113) |
где Ia – амплитуда комплексного тока I1;
ω – угловая частота;
t – мгновенное значение времени;
φi – начальная фаза комплексного тока I1.
50