курсовая / 00_course_work_report
.pdf2023 «Курсовая_работа.docx»
Следующим шагом необходимо рассчитать количество независимых контурных токов в системе (k). Расчёт производится по следующей формуле:
|
k = NВ − Nу + 1 − NТ. |
|
(14) |
||||||
В рамках задачи NВ = 3, Nу = 2, NТ = 0. Таким образом, для исследуемой |
|||||||||
цепи число контурных токов равно двум. |
|
|
|
||||||
Далее необходимо составить систему следующего вида: |
|
||||||||
{R11 |
I11 |
+ R12 |
I22 |
= E11 |
, |
(15) |
|||
R |
21 |
I |
+ R |
22 |
I |
22 |
= E |
|
|
|
11 |
|
|
22 |
|
|
|||
где R11 – общее сопротивление первого контура;
I11 – первый контурный ток;
R12 – сопротивление, общее для первого и второго контуров;
I22 – второй контурный ток;
E11 – алгебраическая сумма ЭДС первого контура;
R21 – сопротивление, общее для второго и первого контуров;
R22 – общее сопротивление второго контура;
E22 – алгебраическая сумма ЭДС второго контура.
Знаки значений общих сопротивлений выбираются следующим образом: если контурные токи в ветвях совпадают, то значение сопротивления берётся с знаком плюс, иначе – со знаком минус. В рамках задачи вышеуказанные величины равны:
R11 = R1 + R2, R12 = −R2, E11 = E1, R21 = −R2, R22 = R2 + R`, E22 = E2.
Тогда общая система уравнений имеет вид:
{ |
(R1 + R2) I11 − R2 I22 = E1 . |
(16) |
||||||
|
−R |
2 |
I + (R |
2 |
+ R`) I |
22 |
= E |
|
|
|
11 |
|
2 |
|
|||
11
2023 «Курсовая_работа.docx»
Систему необходимо решить любым удобным способом. Решение системы – контурные токи в контурах.
Исходные токи в ветвях высчитываются по следующему правилу:
Ii = ∑ Ikk |
(17) |
Где Ii – ток i-ой ветви;
∑ Ikk – сумма контурных токов для данной ветви.
Если ток в ветви совпадает по направлению с контурным, то контурный ток берётся со знаком плюс, иначе – со знаком минус.
Тогда исходные токи равны: |
|
I1 = I11, I2 = I11 − I22, I` = I22. |
(18) |
Таким образом, токи в цепи равны: I1 = 1,635 А, |
I2 = 0,741 А, I3 = 0,894 А, |
I4 = 0,894 А. |
|
12
2023 «Курсовая_работа.docx»
2.1.3 РАСЧЁТ ТОКОВ В ВЕТВЯХ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ
ПОТЕНЦИАЛОВ
Для расчёта токов в ветвях методом узловых потенциалов сперва необходимо приравнять потенциал последнего узла к нулю. В рамках задачи потенциал V2 второго узла равен нулю (V2 = 0 В). Схема, используемая при расчёте, представлена на рисунке 4.
Рисунок 4. Исследуемая цепь с потенциалом V2 = 0 В.
Далее необходимо рассчитать количество уравнений (N). Оно рассчитывается по следующей формуле:
N = Nу − Nи − 1, |
(19) |
где Nи – количество ветвей, где содержатся только идеальные источники ЭДС.
В рамках задачи: Nу = 2, Nи = 0, тогда количество уравнений равно одному.
Необходимо составить систему с рассчитанным количеством уравнений, по следующему правилу:
13
2023 «Курсовая_работа.docx»
G11 V1 = ∑ EG, |
(20) |
где G11 – сумма проводимостей ветвей, присоединённых к первому узлу;
∑ EG – сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к первому узлу, на их проводимость. Если ЭДС направлена к узлу, то её она положительна,
иначе – отрицательна.
В рамках задачи вышеуказанные величины рассчитываются следующим образом:
G11 |
= |
|
|
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
, |
|
|
(21) |
||||
|
|
|
|
|
R` |
|||||||||||
|
|
|
R1 |
R2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
∑ EG = E1 |
|
− E2 |
|
, |
(22) |
|||||||||||
R1 |
R` |
|||||||||||||||
|
V = |
G11 |
. |
|
|
|
|
(23) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
∑ EG |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Далее необходимо вычислить истинные значения токов с помощью обобщённого закона Ома:
I = V1 − V2 + ∑ E, R
где ∑ E – алгебраическая сумма ЭДС в ветви (знак ЭДС определяется аналогично формуле (20));
R – общее сопротивление ветви.
Тогда значения токов I1-4 вычисляются по следующим формулам:
|
I = |
−V1 + E1 |
, |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
R1 |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
I2 = |
V1 |
, |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
R2 |
||||
I3 |
= I4 |
= I` = |
V1 + E2 |
. |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
R` |
||
(24)
(25)
(26)
(27)
Таким образом, токи в цепи равны: I1 = 1,635 А, I2 = 0,741 А, I3 = 0,894 А,
I4 = 0,894 А.
14
2023 «Курсовая_работа.docx»
2.1.4 РАСЧЁТ ТОКОВ В ВЕТВЯХ МЕТОДОМ ДВУХ УЗЛОВ
Для расчёта токов в ветвях методом двух узлов сперва необходимо приравнять потенциал последнего узла к нулю. В рамках задачи потенциал
V2 второго узла равен нулю (V2 = 0 В). Схема, используемая при расчёте,
представлена на рисунке 5.
Рисунок 5. Исходная цепь с потенциалом V2 = 0 В.
Далее необходимо определить напряжение между двумя узлами (U12).
Оно рассчитывается по формуле:
U |
= V − V = |
∑ Ekgk |
, |
(28) |
|
|
|||||
12 |
1 |
2 |
∑ gk |
|
|
|
|
|
|
||
где V1 – потенциал первого узла;
∑Ekgk – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей на их проводимость, знак ЭДС определяется аналогично формуле (20);
∑gk – сумма проводимостей ветвей.
15
2023 «Курсовая_работа.docx»
В рамках задачи вышеуказанные величины рассчитываются следующим образом:
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||
∑ Ekgk = E1 |
|
− E2 |
|
, |
(29) |
||||||
R1 |
R` |
||||||||||
∑ gk = |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
. |
|
|
(30) |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
R1 |
R2 |
R` |
|
|||||||
Расчёт истинных токов производится с помощью обобщённого закона
Ома:
I = |
U12 + ∑ E |
, |
(31) |
|
|||
|
R |
|
|
где ∑ E – алгебраическая сумма ЭДС в ветви (знак ЭДС определяется аналогично формуле (20));
R – общее сопротивление ветви.
Тогда значения токов I1-4 вычисляются по следующим формулам:
|
I = |
−U12 + E1 |
, |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
R1 |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
I2 |
= |
U12 |
, |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
R2 |
||||
I3 |
= I4 |
= I` = |
U12 + E2 |
. |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R` |
||
(32)
(33)
(34)
Таким образом, токи в цепи равны: I1 = 1,635 А, I2 = 0,741 А, I3 = 0,894 А,
I4 = 0,894 А.
16
2023 «Курсовая_работа.docx»
2.1.5 РАСЧЁТ ТОКОВ В ВЕТВЯХ МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ
Для расчёта токов в ветвях методом наложения необходимо выбрать направления токов так, чтобы все токи были положительными (сонаправлены ЭДС). Схема исследуемой цепи представлена на рисунке 6.
Рисунок 6. Схема цепи, исследуемой в рамках задачи.
Далее необходимо рассчитать частичные токи в дополнительных цепях. Дополнительные цепи получаются путём убирания из исходной цепи одного из источников ЭДС.
Сперва необходимо рассчитать токи в дополнительной цепи, где присутствует только источник ЭДС E1 (V1) (рисунок 7).
Рисунок 7. Схема первой дополнительной цепи.
17
2023 «Курсовая_работа.docx»
Для этого необходимо рассчитать ток полной цепи IE1, используя закон Ома:
IE1 = |
|
|
|
E1 |
|
|
|
. |
|
|
(R1 |
+ |
R2 |
R` |
) |
(35) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
R2 + R` |
|
|
|
|
|
Далее необходимо рассчитать общее напряжение цепи U`1, используя закон |
||||||||||
Ома: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U` |
= I |
|
|
R2 |
R` |
|
. |
|
(36) |
|
|
R2 |
|
|
|
||||||
1 |
|
|
E1 |
|
+ R` |
|
|
|
|
|
Тогда частичные токи в ветвях можно будет найти по следующим формулам:
I`1 = IE1, |
(37) |
||||
I`2 = |
|
U`1 |
, |
(38) |
|
|
|
|
|||
|
|
R2 |
|
||
|
U`1 |
|
(39) |
||
I`` = |
|
R` . |
|||
|
|
||||
Далее необходимо рассчитать токи в дополнительной цепи, где присутствует только источник ЭДС E2 (V2) (рисунок 8).
Рисунок 8. Схема второй дополнительной цепи.
18
2023 «Курсовая_работа.docx»
Для этого необходимо проделать действия, аналогичные действиям при расчёте первой дополнительной цепи:
IE2 |
= |
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
|
|
, |
|
(R` + |
|
|
R1 R2 |
) |
(40) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
R1 + R2 |
|
|
|
||||
U`2 = IE |
|
|
|
|
R1 |
R2 |
, |
|
(41) |
||||
2 |
|
|
R1 + R2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
I`` |
= |
|
U`2 |
, |
|
|
|
(42) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I`2 = |
U`2 |
, |
|
|
|
(43) |
|||||
|
|
|
R2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(44)
Тогда токи в ветвях исходной цепи можно найти как алгебраическую сумму частичных токов. Если направление частичного тока совпадает с направлением исходного тока, то частичный ток положителен, иначе – отрицателен.
Таким образом, исходные токи рассчитываются по следующим формулам:
I1 = I`1 + I``1, |
(45) |
I2 = I`2 − I``2, |
(46) |
I3 = I4 = I` = I`` + I```. |
(47) |
Исходные токи в ветвях равны: I1 = 1,635 А, |
I2 = 0,741 А, I3 = 0,894 А, |
I4 = 0,894 А. |
|
19
2023 «Курсовая_работа.docx»
2.1.6 РАСЧЁТ ТОКОВ В ВЕТВЯХ МЕТОДОМ ЭВКИВАЛЕНТНОГО
ГЕНЕРАТОРА ЭДС
Необходимо рассчитать ток I1 в первой ветви. Для расчёта тока I1
методом эквивалентного генератора ЭДС сперва необходимо «отцепить» ветвь, в которой необходимо найти ток, от исходной цепи. Получившаяся цепь изображена на рисунке 9.
Рисунок 9. Схема исходной цепи с отцепленной ветвью.
Далее необходимо найти напряжение холостого хода Uхх. Для этого сперва необходимо найти ток в преобразованной цепи Iпхх:
Iпхх = |
|
E2 |
. |
(48) |
|
R2 |
+ R` |
||||
|
|
|
Тогда напряжение холостого хода можно найти по формуле:
Uхх = Iпхх R2. |
(49) |
Эквивалентное ЭДС Eэкв эквивалентного генератора ЭДС будет равно напряжению холостого хода Uхх по значению, но противоположно ему по знаку.
20