курсовая / 00_course_work_report
.pdf
2023 «Курсовая_работа.docx»
5) Метод наложения
Вычисление истинных токов
6) Метод эквивалентного генератора ЭДС
7) Метод эквивалентного генератора тока
61
2023 «Курсовая_работа.docx»
Векторная диаграмма
Зависимость тока от времени
62
2023 «Курсовая_работа.docx»
2.3 ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛА ЧЕРЕЗ
ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИК
Необходимо исследовать прохождение сигнала через четырёхполюсник
(рисунок 40) со следующими элементами: R = 4,5 кОм, C = 2,4 нФ.
Рисунок 40. Схема исследуемого четырёхполюсника
В рамках исследования необходимо:
1.Определить следующие характеристики цепи:
1.1.Комплексную передаточную функцию (далее – КПФ) по напряжению
H(jω), построить графики её АЧХ H(ω) и её ФЧХ θ(ω); 1.2.По эквивалентным схемам цепи для частоты ω = 0 и ω = ∞
определить значения АЧХ КПФ H(0) и H(∞), по этим значениям проверить правильность расчёта АЧХ;
1.3.Операторную передаточную функцию (далее – ОПФ) по напряжению
H(p);
1.4.Переходную характеристику цепи g(t), построить график её зависимости от времени;
1.5.Импульсную характеристику цепи h(t), построить график её зависимости от времени;
2.Определить комплексную спектральную плотность SВХ(jω) сигнала uВХ(t)
(рисунок 41), рассчитать амплитудный спектр SВХ(ω) и построить его график;
63
2023 «Курсовая_работа.docx»
3.Определить комплексную спектральную плотность SВЫХ(jω) сигнала на выходе цепи, рассчитать амплитудный спектр SВЫХ(ω) и построить его график;
4.Определить функцию мгновенного напряжения на выходе цепи uВЫХ(t),
построить её график.
Рисунок 41. График входного сигнала |
|
Характеристики входного сигнала uВХ(t): |
|
uВХ(t) = {V, 0 ≤ t ≤ τ, |
(126) |
0, t ≥ τ
где V – амплитуда сигнала (в рамках задачи равна 5 В);
τ – время существования сигнала (в рамках задачи равно 5 мкс); t – время (в рамках задачи t [0, 10−8, . . , 10−5] с).
64
2023 «Курсовая_работа.docx»
2.3.1 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
ЦЕПИ
Значение комплексной передаточной функции цепи не зависит от входного воздействия, а определяется только структурой цепи и параметрами её элементов. Для вычисления комплексной передаточной функции Ḣ(jω)
допустим, что на вход цепи подаётся гармонический сигнал с частотой ω и
значением комплексной амплитуды напряжения U̇1 (U1). Тогда можно построить эквивалентную цепь, где все элементы «свёрнуты» в два резистора
Z1 и Z2. Получившаяся эквивалентная цепь представлена ниже на рисунке 42.
Рисунок 42. Схема эквивалентной цепи для вычисления КПФ
Значения комплексных сопротивлений резисторов Z1 и Z2 вычисляются по следующим формулам:
|
|
|
Z1 = ZR = R, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(127) |
||||||
|
ZR ZC |
|
ZR XC |
|
|
|
R |
|
−j |
−jR |
|
|
|
|||||
Z = |
= |
|
= |
ωC |
|
= |
|
. |
(128) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
ZR + ZC |
|
ZR + XC |
|
|
R + |
|
|
−j |
|
ωCR − j |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Комплексное амплитудное значение тока в контуре İ(I ) вычисляется по |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
следующей формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
İ1 = |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(129) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Z1 |
|
|
+ Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Комплексное амплитудное значение напряжения U̇2 (U2) на выходе цепи |
||||||||||||||||||
вычисляется по следующей формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U̇ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
U̇2 = İ1 Z2 = |
|
1 |
|
|
Z2. |
|
|
|
(130) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z1 + Z2 |
|
|
|
|
|||||||
65
2023 «Курсовая_работа.docx»
Тогда итоговая формула комплексной передаточной функции цепи
(рисунок 40) в алгебраической форме будет иметь вид:
̇ |
|
U̇ |
|
|
|
|
|
U̇ Z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−jR |
1 |
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
H(jω) = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||
U̇ |
|
(Z + Z ) |
U̇ |
Z |
|
+ Z |
ωCR − j |
|
|
−jR |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R + ωCR − j |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
−jR |
|
|
|
|
ωCR − j |
|
|
= |
|
|
|
|
−jR |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
−jR |
|
= |
(131) |
||||||||||||||||||
ωCR − j |
ωCR2 − 2jR |
ωCR2 − 2jR |
−jR(2 + jωCR) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
= |
[τRC |
= RC] |
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 + jωRC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + jωτRC |
|
|
|
|
|||||||||||||||
где τRC = RC – постоянная времени цепи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
КПФ в показательной форме будет иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
√12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ej arctg(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
H(jω) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωτRC |
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√22 + ω2τRC2 |
|
ej arctg( |
2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
(132) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
j (−arctg( |
ωτRC |
)) |
|
|
|
|
|
̇ |
|
|
|
j φ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |H(jω)| e |
, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
√4 + ω2τRC2
где |Ḣ(jω)| – модуль КПФ,
φ – аргумент КПФ.
2.3.2 АЧХ И ФЧХ КОПМЛЕКСНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) комплексной передаточной функции – это зависимость модуля КПФ от частоты.
АЧХ H(ω) можно вычислить по формуле:
̇ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H(ω) = |H(jω)| = |
|
|
. |
(133) |
|
||||
|
√4 + ω2τRC2 |
|
||
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – это зависимость аргумента КПФ от частоты. ФЧХ θ(ω) можно вычислить по формуле:
θ(ω) = φ = −arctg ( |
ωτRC |
). |
(134) |
|
2 |
||||
|
|
|
66
2023 «Курсовая_работа.docx»
Графики АЧХ и ФЧХ при частоте ω [0,10, . . ,3 106] представлены ниже
(рисунок 43 и рисунок 44).
Рисунок 43. График АЧХ комплексной передаточной функции цепи
Рисунок 44. График ФЧХ комплексной передаточной функции цепи
Необходимо составить эквивалентную схему исходной цепи при
гармоническом воздействии с частотой ω = 0, и найти значение АЧХ при
указанной частоте.
67
2023 «Курсовая_работа.docx»
При частоте ω = 0 модуль ёмкостного сопротивления |XC| = ω1С стремится к бесконечности, следовательно на нулевой частоте ёмкостной элемент C
эквивалентен ветви с бесконечно большим сопротивлением (разомкнутому участку). Эквивалентная схема для частоты ω = 0 изображена ниже на рисунке 45.
Рисунок 45. Эквивалентная схема исходной цепи при нулевой частоте источника
Тогда АЧХ эквивалентной цепи Hэкв(0) равна: |
|
|
|
|
|
|
||||
Hэкв(0) = H(0) = |
1 |
|
= [02τRC2 = 0] = |
1 |
= |
1 |
. |
(135) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
√4 + 02τRC2 |
|
|
||||||||
|
|
|
√4 |
|
2 |
|
||||
Как видно из графика АЧХ на рисунке 43, значению частоты ω = 0
действительно соответствует значение АЧХ Hэкв(0) = H(0) = 12.
Необходимо составить эквивалентную схему исходной цепи при гармоническом воздействии с частотой ω → ∞, и найти значение АЧХ при указанной частоте.
При частоте ω → ∞ модуль ёмкостного сопротивления |XC| = ω1С стремится к нулю, следовательно на частоте, стремящейся к бесконечности, ёмкостной элемент C эквивалентен ветви с бесконечно малым сопротивлением
(замкнутому участку). Эквивалентная схема для частоты ω → ∞, изображена ниже на рисунке 46.
68
2023 «Курсовая_работа.docx»
Рисунок 46. Эквивалентная схема исходной цепи при бесконечно большой частоте источника
Тогда АЧХ эквивалентной цепи Hэкв(∞) равна: |
|
|
|
||||
Hэкв(∞) = H(∞) = |
1 |
= [02τRC2 = ∞] = |
1 |
→ 0. |
(136) |
||
|
|
∞ |
|||||
√4 + ∞2τRC2 |
|||||||
|
|
|
|
||||
Как видно из графика АЧХ на рисунке 43, при частоте, стремящейся к
бесконечности, значение АЧХ Hэкв(∞) = H(∞) → 0 действительно стремится к нулю.
2.3.3 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПЕРАТОРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
ЦЕПИ
Для определения операторной передаточной функции по напряжению H(p) необходимо составить операторную схему замещения исходной цепи (рисунок 47): R = R, XC = pC1 .
Рисунок 47. Операторная схема замещения исходной цепи
Алгоритм нахождения операторной передаточной функции схож с алгоритмом нахождения комплексной передаточной функции, поэтому можно использовать ту же эквивалентную схему цепи (рисунок 42),
69
2023 «Курсовая_работа.docx»
пересчитав значения сопротивлений Z1 и Z2 из комплексных в операторные;
и ту же формулу, что и при нахождении КПФ, использовав новые значения
Z1 и Z2. Таким образом, значения Z1 и Z2 будут иметь вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 = R, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Z = |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R pC |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
pC |
= |
|
|
= |
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
pC (pCR + 1) |
pCR + 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
R + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а итоговая формула ОПФ H(p) будет иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
H(p) = |
|
Z2 |
= |
R |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
|
R |
|
|
pCR + 1 |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Z1 + Z2 |
pCR + 1 |
|
|
R |
|
pCR + 1 |
pCR2 + 2R |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R + pCR + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
R |
= |
|
|
|
|
1 |
|
= [τRC = RC] = |
|
|
1 |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
R (pCR + 2) |
|
2 + pCR |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + pτRC |
|
||||||||||||||||
(137)
(138)
(139)
2.3.4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПИ
Переходная характеристика цепи g(t) числено совпадает с реакцией цепи на воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(t):
(140)
Найти переходную характеристику g(t) можно с помощью операторного метода, получив оригинал изображения реакции цепи U2(p) на изображение воздействия U1(p).
Изображение единичной ступенчатой функции 1(t) равно p1.
Операторное выражение реакции цепи U2(p) на воздействие U1(p) = p1
определяется с помощью операторной передаточной функции цепи по напряжению H(p):
U2(p) = U1(p) H(p) = |
1 |
|
H(p). |
(141) |
|
p |
|||||
|
|
|
|||
70