4.2 Частотные характеристики цифрового фильтра канонического вида

Чтобы перейти от системной функции цифрового фильтра к его амплитудно-частотной характеристике (рисунок 4.2), достаточно сделать замену следующего вида:

Также целесообразно выполнить нормировку относительно максимальной частоты w_max, при выполнении которой на рисунке 4.2 w_max = 1:

Рисунок 4.2 – Амплитудно-частотная характеристика цифрового канонического вида фильтра: K_Z (^___), K(---)

Фазо-частотная характеристика цифрового фильтра представлена на рисунке 4.3:

Рисунок 4.3 – Фазо-частотная характеристика цифрового фильтра канонического вида: φ (K_Z) (^___), φ(K) (^….)

4.3 Отклик цифрового фильтра на дискретный сигнал

По алгоритму работы рекурсивного цифрового фильтра построим отклик рекурсивного цифрового фильтра на дискретный сигнал, полученный путем дискретизации исходного аналогового сигнала. На рисунке 4.4 представлен отклик цифрового фильтра на дискретный сигнал:

Рисунок 4.4 – Отклик цифрового фильтра на дискретный сигнал

5 Синтез цифрового фильтра методом инвариантности импульсных характерискик

5.1 Дискретизация импульсной характеристики линейной электрической цепи

Импульсной характеристикой линейной аналоговой электрической цепи с нулевыми начальными условиями называется отклик цепи на воздействие дельта-функции  t. Цифровую дельта-функцию  n можно получить путем умножения аналоговой дельта-функции  n на интервал дискретизации:

(5.1)

Можно предположить, что синтезируемый цифровой фильтр должен обладать импульсной характеристикой, представляющей собой последовательность чисел , , ,…, . Эта последовательность может быть получена после дискретизации импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа и последующей нормировки путем умножения на интервал дискретизации:

В результате дискретизации и последующей нормировки с учетом (5.1) g_n(n) имеет вид:

График дискретизированной импульсной характеристики изображён на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 – Дискретизированная импульсная характеристика линейной аналоговой цепи: 0,1g₁ (∙∙∙)

5.2 Системные функции трансверсального цифрового фильтра

Системная функция трансверсального фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр) имеет вид:

Для определения порядка фильтра (число М) воспользуемся пороговым критерием, который равен десятой части первого отсчёта. Исходя из рисунка 5.1, очевидно, что фильтр двадцать четвёртого порядка (M = 24). Графики амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик трансверсального фильтра представлены на рисунке 5.3 и 5.4, соответственно. Структура КИХ-фильтра представленна на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2 – Структура КИХ-фильтра

Работа цифрового фильтра пятнадцатого порядка описывается следующим алгоритмом:

.

Рисунок 5.3 – Амплитудно-частотная характеристика трансверсального фильтра: K_Z (^___), K(^….)

Рисунок 5.4 – Фазо-частотная характеристика трансверсального фильтра: φ (K_Z) (^___), φ(K) (^….)

Системная функция трансверсального фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр) имеет вид:

Сворачивая бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получим системную функцию цифрового фильтра канонического вида:

Трансверсальная часть цифрового фильтра описывается числителем системной функции, а рекурсивная знаменателем. Коэффициенты и цифрового фильтра приведены в таблице 5.2:

Таблица 5.2 – Коэффициенты и рекурсивного цифрового фильтра

	1

Структура БИХ-фильтра приведена на рисунке 5.5:

Рисунок 5.5 – Структурная схема БИХ-фильтра

Работа трансверсального фильтра с бесконечной импульсной характеристикой описывается следующим алгоритмом:

Графики амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик трансверсального фильтра с бесконечной импульсной характеристикой представлены на рисунке 5.5 и 5.6, соответственно.

Рисунок 5.5 – Амплитудно-частотная характеристика фильтра с бесконечной импульсной характеристикой: K_Z (^___), K(^….)

Рисунок 5.6 – Фазо-частотная характеристика фильтра с бесконечной импульсной характеристикой: φ (K_Z) (^___), φ(K) (^….)