1 Спектральный анализ аналогового сигнала

Исходные данные представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1 – Временная структура аналогового сигнала

N3 N4	t1	t2	t3	Toc
33	330 мкс	2t1	3 t1	3.5t1

Известно соотношение между постоянной времени цепи τ и интервалом описания фрагмента сигнала t₁: τ = t₁ или α = = . Из данных соотношений получены выражения (1.1):

(1.1)

где w₀ – частота резонанса аналогового фильтра, равная 19,04 рад/с.

1.1 Разложение сигнала на типовые составляющие

Исходный сигнал, представленный на рисунке 1.1, определяется следующей системой уравнений линий (1.2):

(1.2)

Рисунок 1.1 – Графическое представление исходного сигнала

Воспользуемся математическим аппаратом функции Хевисайда для разложения аналогового сигнала на элементарные составляющие (1.3). График элементарных составляющих представлен на рисунке 1.2.

	(1.3)

Рисунок 1.2 – Элементарные составляющие аналогового сигнала: S₁(t) – красный, S₂(t) – синий; S₃(t) – зелёный; S₄(t) – розовый

1.2 Нахождение спектральной плотности аналогового сигнала

Для нахождения спектральной плотности аналогового сигнала используем прямое преобразование Лапласа к каждой типовой составляющей сигнала (1.4).

	(1.4)

Аналоговый сигнал, заданный в данной курсовой работе, математически запишется как сумма полученных типовых составляющих S(P) = S₁(P) + S₂(P) + S₃(P) + S₄(P), и будет иметь вид (1.5):

(1.5)

Из выражения 1.5 путем замены P → jw (1.6) найдем спектральную плотность (рисунок 1.3) и спектр фаз аналогового сигнала (рисунок 1.4(а)). Графики сигнала нормированы относительно периода (времени длительности сигнала) T_ос и частоты резонанса w₀ и имеют вид , .

	(1.5)

Применим известные соотношения t₂ = 2 t₁ и t₃ = 3 t₁, а также формулы Эйлера , двойного и тройного угла синуса и косинуса: , , и соответственно, получим следующее выражение спектральной плотности:

Рисунок 1.3 – Спектральная плотность аналогового сигнала

Из рисунка видно, что спектр амплитуд пульсирует. Это происходит по причине того, что сигнал имеет ограниченный интервал описания во временной области.

Рисунок 1.4 (а) – Спектр фаз аналогового сигнала

Данный спектр фаз имеет большую линейную составляющую, которая мешает увидеть значимую его часть. Для компенсации линейной составляющей спектра фаз, умножим спектральную плотность на , тогда спектр фаз примет вид, изображённый на рисунке 1.4 (б):

Рисунок 1.4 (б) – Спектр фаз аналогового сигнала с компенсированной линейной составляющей

1.3 Спектр коэффициентов комплексного ряда Фурье

Аналоговые преобразования Фурье связывают между собой две текущие переменные: время t и частоту w. Дискретные преобразования Фурье (ДПФ) связывают между собой две дискретные переменные: дискретное время nТ_д и дискретную частоту kw₁. При дискретизации по частоте и по времени выполняются два условия:

1) функция, описывающая сигнал во временной области, будет периодической (с периодом Т_ос  2 w₁) и дискретизированной с шагом nТ_д;

2) функция, описывающая сигнал в частотной области, будет периодической (с периодом w_д  2 w_в  2 Т_д ) и дискретизированной с шагом kw₁.

Обычно вводится обозначение, связывающее отсчеты спектральной плотности Skw₁ и коэффициенты комплексного ряда Фурье C(k). Отсчеты спектральной плотности нормируются, чтобы размерность отсчетов сигнала и нормированных отсчетов спектральной плотности была одинаковой. Окончательно формула преобразуется к виду (1.6):

(1.6)

Графики спектра амплитуд и спектра фаз представлены на рисунках 1.5 и 1.6, соответственно:

Рисунок 1.5 – Спектр амплитуд коэффициентов комплексного ряда Фурье

Пороговый критерий для определения ширины спектра, в котором сосредоточено 90% мощности сигнала, показан на рисунке 1.5 пунктирной линией, параллельной оси целых числовых коэффициентов k. Девятый коэффициент – последний коэффициент с амплитудой, превышающей пороговый критерий, десятый – численно равен пороговому критерию, следовательно, восстановление сигнала необходимо выполнять по десяти гармоникам, где .

Рисунок 1.6 – Спектр фаз коэффициентов комплексного ряда Фурье

Для сравнения с комплексными коэффициентами ряда (таблица 1.1), определим постоянную составляющую исходного аналогового сигнала:

Выполним восстановление сигнала по формуле (1.7).

(1.7)

где – постоянная составляющая аналогового сигнала.

Таблица 1.1 – Значения модуля первых десяти коэффициентов комплексного ряда Фурье

k	|Ck (k)|	k	|Ck (k)|
1	206,695	6	29,528
2	103,347	7	25,837
3	68,898	8	22,966
4	51,674	9	20,669
5	34,449	10	18,79

Рисунок 1.7 – Восстановление аналогового сигнала

Восстановленный сигнал (рисунок 1.7) является периодической функцией времени. Он точно проходит по отсчетам выборки на первом периоде. Очевидно, что при большем значении N восстановление будет точнее.