3.3 Расчёт и построение спектра комплексных коэффициентов дискретного преобразования Фурье

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) – одна из наиболее распространённых процедур цифровой обработки сигналов, используемая для определения гармонического, или частотного, состава дискретных сигналов. Она позволяет анализировать, преобразовывать и синтезировать сигналы такими способами, которые невозможны при аналоговой обработке сигналов.

Для нахождения дискретного представления сигнала в частотной области применяется прямое дискретное преобразование Лапласа (3.3):

На рисунках 3.5 и 3.6 представлены спектр модулей и фаз комплексных коэффициентов ДПФ, соответственно.

Рисунок 3.5 – Спектр модулей комплексных коэффициентов ДПФ

Рисунок 3.6 – Спектр фаз комплексных коэффициентов ДПФ

Из графика видно, что если поменять знак индекса на противоположный, знак аргумента также инвертируется, другими словами, комплексные коэффициенты, симметричные относительно начала координат, являются комплексно-сопряженными.

3.4 Восстановление аналогового сигнала по теореме Котельникова

Суть теоремы Котельникова состоит в следующем: непрерывный сигнал S(t), ширина спектральной плотности которого ограничена максимальной частотой , может быть восстановлен по его дискретным отсчётам, взятым с интервалом дискретизации: . Сигнал восстанавливается из простых составляющих с разными весами и сдвигами по времени (3.7):

Результат суммирования этих составляющих представлен на рисунке 3.7. Это и есть восстановление сигнала по Котельникову. Другими словами, восстановленный сигнал представляет собой сумму функций Котельникова с весами, равными отсчётам сигнала.

Рисунок 3.7 – Восстановление аналогового сигнала по теореме Котельникова: a) для исходного числа гармоник, б) для большего числа гармоник в качестве примера правильности расчётов

3.5 Восстановление аналогового сигнала по Фурье

Восстановление по Фурье (рисунок 3.8) определяется формулой:

Рисунок 3.8 – Восстановление аналогового сигнала по Фурье

Следует особо подчеркнуть, что восстановление непрерывного сигнала есть не приближённая, а точная операция, полностью эквивалентная получению текущих значений сигнала с ограниченным спектром по его выборкам, образующим ряд Котельникова. Однако процедура, использующая ДПФ, в ряде случаев предпочтительна, поскольку она приводит к конечным суммам гармоник, в то время как ряд Котельникова для периодического сигнала принципиально должен содержать бесконечное число членов.

4 Синтез цифрового фильтра методом билинейного z-преобразования

В методе билинейного Z-преобразования используется билинейная подстановка. К системной функции рекурсивного фильтра перейдем путем замены следующего вида (4.1):

4.1 Системная функция канонического вида цифрового фильтра

При такой подстановке изменится масштаб амплитудно-частотной характеристики цифрового фильтра (рисунок 4.1). В области малых частот амплитудно-частотная характеристика цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа практически совпадают. При w→ происходит сжатие амплитудно-частотной характеристики аналогового фильтра-прототипа по закону (4.2):