2 Анализ аналоговой линейной электрической цепи

2.1 Передаточная функция аналогового фильтра

Передаточную функцию в операторной форме записи цепи найдём по методу контурных токов, согласно которой передаточная функция представляет собой отношение сопротивления выхода и входа цепи (2.1). В данном случае, цепь является четырёхполюсником, схема которого представлена в операторном виде на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Операторная схема рассматриваемой цепи

(2.1)

Используя соотношения (1.1) получим следующее выражение (2.2):

(2.2)

2.2 Частотные характеристик аналогового фильтра

Представим передаточную функцию в частотной форме (2.3) заменой P = jw и выделим действительную и мнимую части, умножив выражение на комплексно сопряжённый знаменатель. Используя полученное выражение (2.2), построим амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи (рисунок 2.2 ). Амплитудно-частотная характеристика определяется как |(K(w))| = , а фазо-частотная характеристика – φ(w) = .

(2.3)

Амплитудно-частотная характеристика сигнала необходима для того, чтобы определить частоту среза, частоту ω_max и другие величины, которые понадобятся при синтезе цифровых фильтров на основе данного аналогового фильтра-прототипа. Для удобства вычислений выполнена нормировка, при которой максимальный коэффициент передачи и частота резонанса равны 1. Выражение нормированной функции передачи имеет вид: .

Рисунок 2.2 – График нормированной амплитудно-частотной характеристики аналогового фильтра-прототипа: w_{1,2 ср =} (-∙-∙), (---)

Прямая, изображённая штрихпунктирной линией на рисунке 2.2, параллельная оси частот, определяет пороговый уровень, по которому определяется частота среза (w_ср). Пороговый уровень равен , так как максимальный коэффициент передачи равен 1 (при K_Н (w→0) = 1), а полоса пропускания цепи любого фильтра – это непрерывная область частот, в пределах которой АЧХ коэффициента передачи изменяется в раз от своего максимального значения. Тогда численное значение частоты среза равно: рад/с и рад/с (ширина полосы пропускания фильтра составляет 3068 рад/с).

Величину w_max определим по пороговому критерию, согласно которому максимальная частота не превышает 10% от максимального значения коэффициента передачи. На рисунке 2.2 данный уровень представлен прямой в виде пунктирной линии, параллельной оси частот. По аналогии, численное значение максимальной частоты равно: .

Также была получена фазо-частотная характеристика аналогового фильтра-прототипа, представленная на рисунке 2.3:

Рисунок 2.3 – График нормированной фазо-частотной характеристики аналогового фильтра-прототипа

Необходимо обратить внимание на то, что ФЧХ цепи изменяется от 0^о до -180^о. Этот факт скажется на виде АЧХ синтезируемого цифрового фильтра методом инвариантности импульсных характеристик.

2.3 Временные характеристики аналогового фильтра

Для нахождения отклика цепи на сигнал, необходимо определить временные характеристики заданного четырехполюсника, а именно отклики на типовые составляющие исходного сигнала. Импульсную характеристику (2.4) определяем с помощью обратного преобразования Лапласа взятого от передаточной функции (2.3):

g(t) = [K(P)].

(2.4)

где А(Р) –числитель передаточной функции, В(Р) – знаменатель.

Теперь найдём корни из выражения . Исходя из того, что , получим квадратное уравнение следующего вида: .Через дискриминант найдём корни :

;

Переходную характеристику найдём при помощи обратного преобразования Лапласа от передаточной функции, поделённой на (2.5):

(2.5)

Отсюда следует, что у уравнения будут следующие корни:

Далее получим общий вид импульсной (2.6) и передаточной (2.7) характеристик.

	(2.6)
	(2.7)

При построении графика импульсной (рисунок 2.4) и переходной (рисунок 2.5) характеристик целесообразно нормировать временную ось через t. Вследствие большого значения импульсной характеристики в момент времени t = 0 рисунок 2.4 состоит из двух графиков характеристики в разных масштабах.

Рисунок 2.4 – Импульсная характеристика аналогового фильтра-прототипа

Рисунок 2.5 - Переходная характеристика аналогового фильтра-прототипа

Для проверки полученных результатов можно воспользоваться предельными соотношениями, связывающими передаточную функцию и переходную характеристику цепи: