Сборник методичек по физике - УГНТУ / Мукаева

11

тело массой m под действием силы F .

3 Уравнение динамики в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

4 Закон сохранения импульса для замкнутой системы

n

pmi i const,

i1

где n – число материальных точек (или тел), входящих в систему. 5 Координаты центра масс системы материальных точек:

где mi – масса i-й материальной точки; xi, ,yi , zi –ее координаты. 6 Работа, совершаемая постоянной силой:

A FScos FsS ,

где Fs – проекция силы на направление перемещения; α – угол между направлениями силы и перемещения.

7 Работа, совершаемая переменной силой, на пути S

9 Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью υ:

m 2 Wk 2 .

10 Формулы для потенциальной энергии имеют разный вид в зависимости от характера действующих сил.

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h

Wp mgh ,

где g – ускорение свободного падения.

12

Потенциальная энергия упругодеформированного тела

11 Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

Wk Wp W const .

Равномерное и равнопеременное прямолинейное движение

1.51 Тягач тянет прицеп массой m1 с грузом, прилагая к сцепке силу тяги F тяги . Чему равна масса груза m2, если коэффициент трения между прицепом и асфальтом равен k? Движение тягача равномерное и прямолинейное.

(m2 Fтяги m1 )

kg

1.52 К телу массой m приложены три равные по модулю силы F (рисунок, вид

1.53На наклонной плоскости длиной l = 10 м и высотой h = 2 м лежит тело массой m = 20 кг. Какую силу F1, параллельную наклонной плоскости, надо

приложить к телу, чтобы перемещать его равномерно к вершине? Какую

1.54Танк массой m движется равномерно и прямолинейно к вершине холма высотой Н. Найти силу тяги мотора Fтяги , если коэффициент трения гусениц о почву равен k. Путь, пройденный танком от основания холма до его вершины, равен S. Сколько времени t поднимался танк к вершине, если он

1.55Деревянный брусок массой m = 1 кг тянут равномерно вверх с помощью пружины жесткостью kж = 100 Н/м. Брусок движется между двумя вертикальными поверхностями. Определить силу давления на брусок Fдавл со стороны каждой поверхности, если коэффициент трения бруска о

1.56Между двумя столбами, находящимися на расстоянии l0 = 2 м друг от друга, закреплен резиновый шнур, в недеформированном состоянии расположенный горизонтально (без провисания). Под действием груза массой m = 0,5 кг, подвешенного к середине, шнур провис на h = 0,5 м.

13

Определить коэффициент упругости (жесткость) k шнура. Массой шнура пренебречь. (46 Н/м)

1.57 Жесткость двух последовательно соединенных пружин kпос , а параллельно – kпар. Найти жесткости k1 и k2 каждой пружины.

(k1,2 0,5kпар kпар 0,25kпар kпос )

1.58Тело массой m = 0,5 кг движется прямолинейно, причем координата тела X изменяется со временем как X = a – bt + ct2- dt3, где с = 5 м/с2 и d = 1 м/c3. Найти силу F, действующую на тело в конце первой секунды движения.

1.61Порожний автомобиль массой m1 движется с ускорением а1 .Чему равна масса груза, положенного в этот автомобиль, если под действием той же силы тяги он, будучи нагруженным, движется с ускорением а2?

1.62Реактивная установка имеет длину направляющих балок l. Масса ракеты m и сила реактивной тяги F. С какой скоростью ракета “сходит” с направляющей балки ? Какое время t она движется по балке? Начальная скорость ракеты равна нулю, сопротивлением пренебречь.

1.63Электровоз тянет состав, состоящий из n одинаковых вагонов, с ускорением а. Найти силу натяжения сцепок Fн1 между электровозом и первым вагоном и Fн2 между последним и предпоследним вагонами, если масса каждого

1.64На столе лежит груз массой m1 = 70г. К этому грузу привязана нить, перекинутая через неподвижный блок, находящийся на одном уровне с грузом. К другому концу нити подвесили груз массой m2 = 28г. Под

действием груза массой m2 система пришла в движение. Найти путь S, пройденный грузом массой m1 за t = 1,5с. Коэффициент трения при

1.65 На автомобиль массой m = 1000 кг во время движения действует сила сопротивления Fс , в 10 раз меньшая, чем сила тяжести. Найти силу тяги Fт , развиваемую мотором автомобиля, если он движется под гору с уклоном

17

1.97Акробат массой m, спрыгнув с высоты H без начальной скорости, прогнул страховочную сетку на расстояние x. Какова максимальная упругая сила,

1.98Гиря, положенная на верхний конец вертикально расположенной пружины, сжимает ее на х1 = 2 мм. Найти сжатие пружины х2, если эта же гиря упадет

на пружину, будучи брошенной вниз с высоты h = 20 см со скоростью 0 =

0,5 м/с. (3 см) 1.99 Груз массой 0,5 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 1 кг, укрепленную на пружине с коэффициентом жесткости 103 Н/м. Определите величину наибольшего сжатия пружины, если в момент неупругого удара

1.101 Какую работу А нужно совершить, чтобы выкопать яму квадратной формы со стороной а и глубиной h, если плотность грунта ? ( A 0,5 ah 2 g )

1.102 Плавательный бассейн площадью 100 м2 заполнен водой до глубины 2 м. Требуется перекачать эту воду на высоту 3 м (считая от поверхности воды в бассейне). Определить работу А, которую нужно совершить при этом.

(8000 кДж)

1.103 За t = 4 с подъемный кран поставил вертикально рельс, подняв его за один конец. Чему равна полезная работа Апол, совершенная краном, если масса рельса m = 1,5 т, а скорость его поднятия = 20 м/мин? Каков КПД крана, если его мощность N = 30 кВт? (9,8 кДж, 8,2 %)

1.104 Насос с мотором мощностью N выкачивает воду из колодца глубиной h с площадью дна S. Найти объем воды V, которую он выкачивает в течение

1.105 Гидроэлектростанция мощностью N = 1 МВт расходует в течение t = 1 мин работы объем V = 2 102 м3 воды, которая падает с высоты H = 100 м. КПД ее

Определить импульс р этой точки через t1 = 5 с после начала отсчета времени движения, если ее масса m = 100 г, а также силу F, вызвавшую появление этого импульса. (3 кг·м/с; 0,4 Н)

1.107 Материальная точка массой m = 300 г движется по окружности длиной l = 31,4 см. Насколько изменяется ее импульс через четверть и через половину периода, если период Т = 10 с? (0,013 кг·м/с; 0,019 кг·м/с)

18

1.108 С лодки массой m1 = 200 кг, движущейся со скоростью 1 = 1 м/с, прыгает мальчик массой m2 = 50 кг в горизонтальном направлении со скоростью 2 = 7 м/с. Какова скорость после прыжка мальчика, если он прыгает с кормы в сторону, противоположную движению лодки? (3 м/с)

1.109 Бильярдный шар, движущийся со скоростью = 10 м/с, ударился абсолютно упруго о покоящийся шар такой же массы. Удар нецентральный, поэтому шары после удара разошлись на угол 900 (бильярдные шары при нецентральном ударе всегда разлетаются под прямым углом, что является следствием законов сохранения импульса и механической энергии). Найти скорости шаров 1 и 2 после удара. (7 м/с)

1.110 Охотник стреляет с легкой надувной лодки, находящейся в покое. Какую скорость приобретает лодка в момент выстрела, если масса охотника с лодкой 70 кг, масса дроби 35 г, начальная скорость дроби 320 м/с? Ствол ружья во время выстрела направлен под углом 600 к горизонту. Сопротивлением воды пренебречь. (0,3 км/ч)

1.111 Человек массой М подпрыгнул под углом к горизонту со скоростью 0. В верхней точке траектории он бросил вниз камень массой m. На какую

1.112 Шар, массой m1, движущийся со скоростью 0, налетает на покоящийся шар массой m2 и неупруго сталкивается с ним. Насколько изменится кинетическая энергия системы шаров после удара?

1.113 Ядро атома массой m, летевшее со скоростью 0, распалось на два осколка равной массы. Осколки разлетелись под углом друг к другу. Найти их

1.114 Снаряд массой m = 10 кг обладает скоростью = 200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m1 = 3 кг получила скорость 1 = 400 м/с и полетела вверх под углом = 900 к горизонту. Найти, с какой скоростью 2 и в каком направлении ( -?) полетит большая часть снаряда после разрыва. (333 м/с; 310)

1.115 Граната, летевшая горизонтально, разорвалась на две части. Соотношение

масс осколков m1 3 . Первый осколок свободно падает на землю с высоты m2 2

19

h в течение t секунд. Какова скорость второго осколка, если до взрыва

1.116 Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на очень легком жестком стержне, и застревает в нем. Масса шара в 1000 раз больше массы пули. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара l = 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол = 100. (545 м/с)

1.117 Два шарика подвешены на нитях одинаковой длины и касаются друг друга. Масса первого шарика m1, а второго – m2 . Первый шарик отклоняют на угол1 от положения равновесия и отпускают. На какой угол 2 отклонятся шарики после абсолютно неупругого удара?

1.118 Два шарика подвешены на нитях одинаковой длины и касаются друг друга. Масса первого шарика m1, а второго – m2 . Первый шарик поднимают на высоту h1 и отпускают. На какую высоту h2 поднимется второй шарик после

1.119 Шарик массой m = 100 г подвешен на нити длиной l = 1 м и движется по окружности в горизонтальной плоскости так, что нить образует конический маятник. Чему равны потенциальная Eп и кинетическая энергия Eк энергии шарика, если нить образует с вертикалью угол = 300? Сопротивлением пренебречь. (0,13 Дж; 0,14 Дж)

1.120 В тело массой m1 = 10 кг, лежащее на горизонтальной поверхности, попадает пуля массой m2 = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью 2 = 500 м/с, и застревает в нем. На какое расстояние S переместится тело, если

через отверстие в шар попадает пуля массой m и пробивает его насквозь. При этом шар подскакивает на высоту H. На какую высоту h поднимается пуля, если перед попаданием в шар ее скорость была 0?

1.122 Груз массой М, брошенный вниз с высоты H со скоростью 0, упал на кирпич массой m, лежащий на песке, и при этом кирпич погрузился в песок на некоторую глубину, испытывая силу сопротивления песка Fс. На какую глубину h погрузился кирпич вследствие неупругого удара?

gM 2 H

(h m M Fс g m M )

20

1.123 Два шара массами m1 и m2 расталкиваются зажатой между ними пружиной, которая сообщает им скорости 1 и 2. Найти запас механической энергии пружины Е, когда она была сжата, если общая масса тел m. Сопротивлением

1.3 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Основные формулы

1 Момент инерции материальной точки

I mr 2 ,

где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения. 2 Момент инерции системы точек (тела)

n

Imiri2 ,

i1

где ri – расстояние материальной точки массой mi до оси вращения.

3 Момент инерции твердого тела относительно его оси вращения (в случае непрерывного распределения масс)

I r2dm ,

где интегрирование должно быть распределено на весь объем тела. Произведя интегрирование, можно получить момент инерции тела любой формы.

4 Если для какого-либо тела известен его момент инерции J0 (см. таблицу 1) относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден согласно теореме Штейнера:

J J0 md2 ,

где m – масса тела и d – расстояние от центра масс тела до оси вращения.

5 Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

где ri – расстояние от оси z до отдельной частицы тела; miυi – импульс этой частицы; Jz – момент инерции тела относительно оси z; ω – угловая скорость тела.

6 Момент силы относительно неподвижной точки