Сборник методичек по физике - УГНТУ / Лейберт
.pdf1
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра физики
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ.
МАЯТНИК МАКСВЕЛЛА
Учебно-методическое пособие к лабораторной работе по механике
4-5
УФА 2010
2
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм обучения. Содержит краткие сведения по теории и описанию порядка выполнения лабораторной работы по разделу “Механика”.
Составители: Лейберт Б.М., доц., канд.техн.наук Шестакова Р.Г., доц., канд.хим.наук
Рецензент |
Гусманова Г.М., доц., канд.хим.наук |
Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2010
3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4-5 «Маятник Максвелла»
Цель работы: определение момента инерции маятника Максвелла с использованием закона сохранения энергии.
Приборы и принадлежности: Маятник Максвелла, штангенциркуль.
ТЕОРИЯ МЕТОДА
При изучении вращательного движения вместо понятия «масса» пользуются понятием «момент инерции». Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина, равная произведению массы i-й точки на квадрат расстояния от этой точки до оси вращения
Ii mi ri |
2 . |
(1) |
Твердое тело есть совокупность n материальных точек, поэтому его момент инерции относительно оси вращения равен
n |
n |
|
|
I Ii |
miri |
2 . |
(2) |
i 1 |
i 1 |
|
|
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу
I r2dm, |
(3) |
где интегрирование ведется по всему объему тела.
Согласно (3) получены моменты инерции тел любой формы. Например, момент инерции однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра равен
I |
1 |
mR2 , |
(4) |
|
|||
2 |
|
|
|
где R – радиус цилиндра, внутренним радиусом R1 равен
m – его масса, а момент инерции полого цилиндра с и внешним радиусом R2 относительно оси цилиндра
ролик |
кольцо |
I 1 m R12 R22 . |
(5) |
|
|
2 |
|
ось |
|
Из определения момента инерции |
|
(2) |
следует, что момент инерции твер- |
||
|
дого тела – аддитивная величина. Адди- |
||
|
тивность момента инерции означает, что |
||
|
момент инерции системы тел равен сум- |
||
|
ме моментов инерции всех тел, |
входя- |
|
|
щих в систему. В качестве примера оп- |
||
ределим момент инерции маятника Максвелла, который состоит из трех элемен-
Рис. 1. Маятник Максвелла
4
тов: оси, ролика и кольца (рис. 1). Ось – сплошной цилиндр, для которого
I0 |
|
1 |
|
m0 R02 |
1 |
m0 D02 . |
(6) |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||
Кольцо и ролик – полые цилиндры, для которых |
|
||||||||||||||
IK |
|
1 |
|
mK RK2 |
RP2 |
1 |
mK DK2 DP2 , |
(7) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
8 |
|
|
|
||||||||
IP |
|
1 |
mP RP2 |
R02 |
1 |
mP DP2 D02 . |
(8) |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
8 |
|
|
||||||||||
Согласно свойству аддитивности, момент инерции маятника Максвелла равен сумме моментов инерции оси, ролика и кольца
I* I0 IP I K . |
(9) |
Здесь m0, mр, mк, D0, Dр, Dк - соответственно массы и внешние диаметры оси ролика и кольца.
Определим момент инерции маятника Максвелла экспериментально на основе закона сохранения энергии (рис. 2). Маятник Мак- 
свелла представляет собой диск, ось которого подвешена на двух накручивающихся на нее нитях. Закрутив маятник, мы
тем самым поднимаем его на высоту h над первоначальным положением и сообщаем ему потенциальную энергию
EП mgh.
Предоставим маятнику двигаться под действием силы тяжести. При раскручивании нити маятник одновременно совершает вращательное и поступательное движение. Дойдя до нижнего положения, маятник снова начнет подниматься вверх, с той начальной скоростью, которую он достиг в нижней точке. Если пренебречь силами трения, то на основе за-
кона сохранения механической энергии потенциальная энергия маятника Максвелла превращается в нижней точке в кинетическую энергию поступательного и вращательного движений
mgh mV 2 I 2 , 2 2
где V - скорость поступательного движения центра масс маятника;- угловая скорость вращательного движения;
I - момент инерции маятника относительно оси вращения. Используя связь между линейной и угловой скоростью
V = r,
где r - радиус оси маятника, найдем из (10)
I m r |
2 |
2gh |
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|||
|
|
V 2 |
|
|
Для равноускоренного поступательного движения маятника запишем
(10)
(11)
(12)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
at |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
h |
|
, |
V |
0 |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
(13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h |
V a t |
|
|
|
|
|
|||
Решая (13), выразим V |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При подстановке в (12) окончательно получим |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g t |
2 |
|
|
|
|
I |
m r |
2 |
|
|
|
(14) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2h |
1 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Этот же результат можно получить, применяя законы динамики поступательно-
го и вращательного движения к маятнику |
(рис. 3). На |
|
|||||
диск массы |
m действует сила тяжести |
mg |
и сила натя- |
T |
|||
жения нити |
Т. |
Запишем II закон Ньютона, который |
|||||
определяет ускорение поступательного движения центра |
|
||||||
масс (т. 0). |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
ma mg T. |
(15) |
0 |
|||
Согласно основному уравнению динамики вращательно- |
|
||||||
го движения сила натяжения создает вращающий мо- |
mg |
||||||
мент |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3. К выводу |
||
|
|
M |
I |
|
|
расчетной формулы |
|
|
|
|
|
dt |
|
(16) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M T r |
|
|
|
||
Используя связь между линейным и угловым ускорением |
|
||||||
|
|
a r d |
|
|
(17) |
||
получим |
|
dt |
|
|
|
||
|
I a T r. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
(18) |
|||
|
|
r |
|
|
|
|
|
Из (15) и (18) |
найдем |
2 g |
|
|
|
||
|
|
I m r |
|
|
(19) |
||
|
|
|
|
1 . |
|
||
|
|
|
|
a |
|
|
|
При равноускоренном движении маятника |
|
|
|||||
|
|
a t 2 |
, |
|
|
(20) |
|
|
|
h |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
При подстановке ускорения в (19) |
|
окончательно получим |
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
I mr |
2 g t |
|
|
(21) |
|
|
|
|
|
1 , |
|||
что совпадает с |
(14). |
|
2h |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
Сопоставив экспериментальное значение момента инерции |
(14) с теоретиче- |
||||||
ским (9), можно убедиться в справедливости законов динамики и закона сохранения энергии.
6
Для расчета момента инерции маятника удобнее использовать формулу
|
1 |
|
2 |
|
gt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
I |
mD |
|
|
|
(22) |
|||
|
|
2h |
1 , |
|||||
4 |
|
|
|
|
|
|||
где D – внешний диаметр оси вместе с наложенной на нее нитью подвески, m – общая масса маятника.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
7
6
4
3
9
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
10 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рис. 4. |
Общий вид маятника Максвелла |
||||||||||||||||||||||||||
Общий вид маятника Максвелла показан на рис. 4.
7
Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн 4 и подвижный нижний кронштейн 5. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6 и вороток 7 для закрепления и регулирования длины бифилярной подвески маятника.
Маятник 8 - это ролик, закрепленный на оси и подвешенный по бифилярному способу, на который накладываются сменные кольца 9, изменяя, таким образом, момент инерции системы. Маятник с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника h определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора.
На лицевой панели блока управления имеются следующие элементы:
10(СЕТЬ) - выключатель сети;
11(СБРОС) – установка нуля измерителя;
12(ПУСК) - управление электромагнитом. Нажатие этой клавиши отключает электромагнит и включает секундомер 13.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Подключить прибор к питающей сети, нажать клавишу «Сеть».
2.Нижний кронштейн зафиксировать в крайнем нижнем положении.
3.На ролик маятника надеть кольцо (по указанию преподавателя).
4.Нажать клавишу «Пуск».
5.Намотать на ось маятника нить подвески так, чтобы его ось была параллельна основанию прибора и нить наматывалась равномерно.
6.Зафиксировать маятник в верхнем положении при помощи электромагнита.
7.Повернуть маятник в направлении его движения на угол ~ 50.
8.Нажать клавишу «Сброс».
9.Нажать клавишу «Пуск».
10.Измерение времени падения t провести не менее пяти раз и занести в таблицу.
№ |
m, кг |
|
t, c |
|
t, c |
|
I, кг м2 |
|
I, кг м2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
По шкале на вертикальной колонке определить длину маятника h. |
|||||||||
12. |
Используя известные значения |
m0, mp, |
mk - массы оси, ролика и кольца, |
|||||||
|
найти массу маятника |
m m0 mP mK ; |
|
|
|
|
||||
13. |
Измерив штангенциркулем диаметр оси маятника Dо и приняв диаметр ни- |
|||||||||
|
ти, наложенной на ось, равной DН = 0,5 мм, найти D = D0 + 2DН. |
|
||||||||
|
8 |
||||||
14. |
Вычислить согласно (22) экспериментальное значение момента инерции |
||||||
|
маятника Максвелла. |
|
|||||
15. |
Оценить относительную и абсолютную погрешность при определении мо- |
||||||
|
мента инерции. |
|
|||||
16. |
По известным значениям m0, mp, mk |
и измеренным с помощью штанген- |
|||||
|
циркуля диаметрам D0, DP, DK вычислить теоретическое значение момента |
||||||
|
инерции I* согласно (9). |
|
|||||
17. |
Сопоставление экспериментального I |
и теоретического I* значения мо- |
|||||
|
ментов инерции производится путем вычисления относительной величины |
||||||
|
расхождения |
|
|||||
|
|
|
I I * |
|
|
|
100%, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
I *
ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ
1.Соблюдать правила техники безопасности для работы в учебных лабораториях.
2.К выполнению приступить после изучения методических указаний.
3.Прибор разрешается эксплуатировать только при наличии заземления.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Что называется моментом инерции материальной точки, твердого тела?
2.Что означает аддитивность момента инерции твердого тела?
3.Чему равна кинетическая энергия тела при поступательном движении, при вращательном движении?
4.Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
5.В чем физическая сущность закона сохранения и превращения энергии?
6.Выведите расчетную формулу, используя закон сохранения энергии и законы динамики поступательного и вращательного движений.
7.Можно ли изменить момент инерции маятника Максвелла?