2. Формулы Рэлея-Джинса и Планка

Рэлей и Джинс сделали попытку определить функцию f(,Т), исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная двум половникам kT – одна половинка на электрическую, вторая – на магнитную энергию волны

Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. Для этого представим себе эвакуированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью u = u(Т). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией u(, Т), определяемой условием: du_ = u(, Т)d, где du_, – доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот d. Полная плотность энергии может быть представлена в виде:



u(T) = u(,T)d. (10)

0

Равновесная плотность энергии излучения u(Т) зависит только от температуры и не зависит от свойств стенок полости. Это следует из термодинамических соображений.

Равновесная плотность излучения u связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела R соотношением

R = cu/4 или f(,T) = cu(,T)/4. (11)

График, построенный в соответствии с формулой

или (12)

полученной Рэлеем и Джинсом приведен на рис. 4 (пунктирная линия).

Однако данная формула –Рэлея-Джинса – удовлетворительно согласу-ется с экспериментом (сплошная кривая на рис. 3) только при больших длинах волн и резко расходится с экспериментом для малых длин волн. Интегрирование (12) по всем динам волн дает для равновесной плотности излучения бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой ката-строфы, противоречит опыту.

Вывод формулы Рэлея – Джинса с классической точки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической статистической физики и электродинамики.

Формулу, соответствующую опытным данным

(13)

получил Планк, но для этого он отказался от классических представлений, и предположил, что электромагнитное излучение происходит в виде отдельных порций (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

 = . (14)

Коэффициент пропорциональности в формуле (14) =h/2, h = 6,62 10^-34 Дж с, где h – носит название постоянной планка.

Формула Планка (13) успешно объяснила полученный ранее из термодинамических соображений закон Стефана-Больцмана, который установил связь между энергетической светимостью абсолютно черного тела R_ч и его температурой:

R_ч = Т⁴, (6)

где  – постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,7 10^-8 Вт/(м² К⁴).

Преобразования в соответствии с (9) для (,Т) дают:

. (7)

Из формулы Планка для (,Т), после приравнивания к нулю ее производной по температуре, следует установленный ранее экспериментально закон смещения Вина.

Т_м = b, (8)

где _м – длина волны, соответствующая максимуму на кривой (рис. 3, 4), а b – постоянная, равная 2, 9 10^-3 м К.

Кривые равновесной плотности излучения для разных температур были приведены ранее на рис. 3. Как видно из рисунка площадь под кривой с ростом температуры увеличивается в соответствии с законом (6), а максимум смещается в область более коротких волн в соответствии с законом (7).

Лекция 6