Теорема об изменении количества движения системы материальных точек

Будем считать, что масса интересующего нас объекта в какой-то промежуток времени будет изменяться за счет отсоединения и присоединения масс частиц. Допустим, что в момент времениt частица массой m движется со скоростью V.

Используем теорему об изменении количества движения системы материальных точек на промежутке времени .

– количество движения;

  – сумма внешних сил.

Масса	Количество движения
	t

Определим приращение количества движения системы материальных точек за промежуток времени :

.

То есть .

Рассматривая изменение количества движения за малый промежуток времени и учитывая только члены первого порядка малости, получаем:

.

Здесь

– расход топлива;

– приход топлива;

– относительная скорость отсоединения частиц;

– относительная скорость присоединения частиц.

Таким образом, получаем уравнение:

.

Уравнение Мещерского для поступательного движения тела переменной массы:

 

Формула Циолковского

Запишем уравнение Мещерского: . Будем рассматривать движение ракеты в безвоздушном пространстве и вне поля тяготения Земли, т.е. ракета движется под действием силы тяги. Для нашего случая уравнение Мещерского будет иметь вид:;

Здесь ,

– относительная скорость отсоединяемых частиц. Для ракеты это скорость истечения газов из сопла двигателя (скорость на срезе сопла).

Таким образом: . Как правило, для ракеты, и, следовательно,– дифференциальное уравнение с раздельными переменными.

Проинтегрируем это равнение: .

В результате имеем . Отсюда

– формула скорости Циолковского.

Формула Циолковскогоопределяет скорость, которую развиваетлетательный аппаратпод воздействием тягиракетного двигателя, неизменной по направлению, при отсутствии всех других сил. Эта скорость называется характеристической и при может быть записана, как:

,

где: – конечная (после выработки всего топлива) скоростьлетательного аппарата– скорость Циолковского;

–удельный импульсракетного двигателя (отношение тяги двигателя к секундному расходу массы топлива), равный скорости истечения продуктов сгорания из сопла ракетного двигателя;

–начальная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция аппарата + топливо);

–конечная масса летательного аппарата (полезная нагрузка + конструкция).

Для многоступенчатой ракетыконечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.

Введем обозначения:

–масса заправленной i-ой ступени ракеты;

–масса i-ой ступени без топлива;

–удельный импульсдвигателяi-ой ступени;

–масса полезной нагрузки;

–число ступеней ракеты.

Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:

Системы координат

 

Рассмотрим три системы координат:

1. Стартовая система координат.

Эта система связана с Землей (рис. 6) и вращается вместе с ней. Начало координат расположено в точке старта. Ось OY_c направлена в сторону противоположную силе тяжести. Ось OX_c перпендикулярна оси OY_c и направлена в сторону цели. Ось OZ_c соответствует правой системе координат. Плоскость X_cOY_c называется плоскостью стрельбы.

Рис.6

2. Связанная система координат.

Представляет собой декартовую прямоугольную правую систему осей координат, неподвижную относительно ракеты (рис. 7) или ГЧ (рис. 8). Оси этой системы называют связанными осями.

Начало связанной системы координат помещено в центр тяжести (или в центр масс) ракеты. Ось  OX₁  направлена по продольной оси ракеты в сторону ГЧ. Ось OY₁  расположена в плоскости симметрии ракеты, которая в момент старта совпадает с плоскостью стрельбы (плоскостью X_cOY_c) стартовой системы координат. Ось OY₁  направлена в сторону третьего, а ось OZ₁ – в сторону четвертого стабилизатора. Для ГЧ направление осей OY₁ и OZ₁ удобно выбрать так, чтобы для ГЧ, состыкованной с ракетой, ось OY₁ была направлена в сторону третьего стабилизатора, а ось OZ₁ – в сторону четвертого.

Рис.7

При установке ракеты на стартовый стол плоскость стабилизаторов I и III совпадает с плоскостью стрельбы, а стабилизатор I направлен в сторону цели.

Рис.8

Связанная система координат иногда называется “подвижной” системой координат.

3. Скоростная система координат. Это также декартовая, прямоугольная, правая система координат (рис. 9). Начало системы (точка О) расположено в центре тяжести ракеты. Ось OХ_n  направлена по вектору скорости ракеты . Ось OY_n перпендикулярна OX_n и лежит в плоскости симметрии ракеты OX₁Y₁.

Ориентация ракеты относительно вектора скорости в общем случае определяется двумя углами:

• угол атаки – это угол между проекцией вектора скоростина плоскость симметрии ракеты OX₁Y₁ и продольной осью ракеты OX₁.

  Рис.9

• угол скольжения – это угол между вектором скоростии плоскостью ракеты OX₁Y₁.