Скорости движения космических аппаратов на орбитах разного типа

Движению космических аппаратов по эллиптическим траекториям соответствуют так называемые эллиптические скорости, определяемые соотношением , частным случаем которых являетсякруговая, илипервая космическаяскорость.

Параболической траектории соответствует параболическая скорость , называемая такжевторой космической скоростью.

Гиперболические скорости соответствуют движению по гиперболическим траекториям.

Здесь μ–гравитационный параметр, равный, гдеG—гравитационная постоянная,M– масса центрального тела,m– масса вращающегося тела;– расстояние между вращающимся телом и центральным телом;a –длинабольшой полуоси(для эллипса).

Космическая скорость

Космическая скорость (первая v₁, вторая v₂, третья v₃ и четвёртая v₄) – это минимальная скорость, при которой какое-либо тело в свободном движении с поверхности небесного тела сможет:

• v₁ (круговая скорость) – стать спутником небесного тела (то есть вращаться по круговой орбите вокруг НТ на нулевой или пренебрежимо малой высоте относительно поверхности);

• v₂ (параболическая скорость, скорость убегания) – преодолеть гравитационное притяжение небесного тела и уйти на бесконечность;

• v₃ – покинуть звёздную систему, преодолев притяжение звезды;

• v₄ – покинуть галактику.

Первая космическая скорость (круговая скорость) – минимальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы вывести его на геоцентрическую орбиту. Иными словами, первая космическая скорость – это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

В инерциальной системе отсчётана объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, будет действовать только одна сила – сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения – то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно – вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения – перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы постоянно будут менять свое направление. Поэтому в инерциальной системе отсчета такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».

Часто для удобства вычисления первой космической скорости переходят к рассмотрению этого движения в неинерциальной системе отсчета – относительно Земли. В этом случае объект на орбите будет находиться в состоянии покоя, так как на него будут действовать уже две силы: центробежная сила и сила тяготения. Соответственно, для вычисления первой космической скорости необходимо рассмотреть равенство этих сил.

Точнее, на тело действует одна сила - сила тяготения, она же - центростремительная. Центробежная сила действует на Землю. Центростремительная сила, вычисляемая из условия вращательного движения равна силе тяготения. Отсюда, приравниванием этих формул, вычисляется скорость.

где m – масса объекта, M – масса планеты, G – гравитационная постоянная, v1 – первая космическая скорость, R – радиус планеты. Подставляя численные значения (дляЗемлиM = 5,97·1024 кг, R = 6371 км), найдем

7,9 км/с.

Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения. Поскольку

то .

Вторая космическая скорость (параболическая скорость, скорость освобождения, скорость убегания) – наименьшая скорость, которую необходимо придать объекту (например,космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массойнебесного тела(например, планеты), для преодолениягравитационного притяженияэтого небесного тела и покиданиязамкнутой орбитывокруг него. Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно более не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует).

Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутникомСолнца. Для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с.

Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие при старте скорость, в точности равную второй космической, движутся по дуге параболыотносительно небесного тела. Однако, если энергии телу придано чуть больше, его траектория перестает быть параболой и становится гиперболой; если чуть меньше, то она превращается вэллипс. В общем случае все они являютсяконическими сечениями.

Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу – спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты, если будет падать на неё избесконечности. Очевидно, что это именно та скорость, которую надо придать телу на поверхности планеты, чтобы вывести его за пределы её гравитационного влияния.

Запишем затем закон сохранения энергии

где слева стоят кинетическаяипотенциальнаяэнергии на поверхности планеты (потенциальная энергия отрицательна, так как точка отсчета взята на бесконечности), справа то же, но на бесконечности (покоящееся тело на границе гравитационного влияния – энергия равна нулю). Здесь m – масса пробного тела, M – масса планеты, R – радиус планеты, G –гравитационная постоянная, v2 — вторая космическая скорость.

Решая это уравнение относительно v₂, получим

.

Между первойи второй космическими скоростями существует простое соотношение:

Квадрат скорости убегания равен удвоенному ньютоновскому потенциалув данной точке (например, на поверхности небесного тела):

Вторая космическая скорость обычно определяется в предположении отсутствия каких-либо других небесных тел (например, для Луны скорость убегания равна 2,4 км/с, несмотря на то, что в действительности для удаления тела на бесконечность с поверхности Луны необходимо преодолеть притяжение Земли, Солнца и Галактики). Величины первой и второй космических скоростей для планет солнечной системы приведены в табл. 5.

Таблица 5