Требования к траектории

1. Программа полета должна обеспечивать минимум рассеивания траектории в конце АУТ. В связи с этим угол траектории Θ в конце АУТ должен быть оптимальным. Анализ траектории показывает, что значение оптимального угла  Θ  может определяться:

– с точки зрения максимальной дальности полета;

– с точки зрения минимального рассеивания точек попадания.

Известно, что эти значения угла Θ не совпадают между собой. Будем учитывать оптимальное значение угла Θ, полученное из условий максимальной дальности полета.

При сравнительно малых дальностях (100 … 300 км) угол тангажа в момент выключения двигателя близок к 45°. При больших дальностях он уменьшается и может быть равным 17° … 25°.

2. Стартовый участок тяжелых (баллистических) ракет – вертикальный, а время движения на вертикальном участке невелико. Причины использования вертикального старта:

– обеспечение устойчивости движения ракеты в начале полета при малых скоростях;

– ракета проходит наиболее плотные слои атмосферы по кратчайшему расстоянию, с относительно небольшой скоростью и при нулевых углах атаки (это сводит к минимуму аэродинамическое сопротивление и нагрев ракеты);

– при вертикальном старте конструкция ракеты испытывает в основном осевые перегрузки, поэтому конструкция может не иметь большую поперечную жесткость (уменьшается стартовая масса ракеты);

– удобство старта ракеты с горизонтального стола пускового устройства (упрощается проектирование и изготовление пускового устройства, которое удерживает ракету перед стартом сь помощью одних только хвостовых опор).

3. Траектория движения ракеты на АУТ не должна иметь резких перегибов. Математически это означает, что должны быть наложены ограничения на первую и вторую производные от угла траектории Θ. Известно, что .

Здесь – нормальное ускорение, где– коэффициент перегрузки.

Таким образом, первая производная определяет нормальное ускорение Wn и позволяет определить силу, действующую на корпус ракеты при маневрах.

4. При выводе уравнений движения баллистических ракет предполагается, что ракета является абсолютно жестким телом, т.е. не учитывают упругость корпуса ракеты и наличие жидкости в баках.

Использование формулы Циолковского при проектировании ракет

Выведенная в конце XIХ века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса. Введём следующие обозначения:

–масса полезного груза;

–масса конструкции ракеты;

–масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

Где k – коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции (коэффициент конструктивного совершенства). При рациональном конструировании этот коэффициент в первую очередь зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента k. Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости большего размера и массы, что ведёт к снижению значения k). Конструктивное совершенство определяется общим уровнем развития техники на данном этапе развития техники. Так, например, для различных блоков РН "Сатурн-V" k = 0,061...0,127.

Уравнение (1) может быть записано в виде:

,

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

(3)

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданной массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента k.

Разумеется, эта формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонентадля положительногоаргументавсегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы:

, иначе говоря, (4)

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости при заданных значениях удельного импульсаI и коэффициента k. Если неравенство не выполняется, то заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.