Закон Био-Савара-Лапласа

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет рассчитать вклад d в магнитное поле, вносимый элементом тока i в точке, положение которой относительно определяется радиусом-вектором (рис.2).

d =(₀  i [ , ])/4pr³,

dB =(m₀  i dl r sina)/4pr³==(m₀  i dl sina)/4pr² (5)

Здесь m₀-магнитная постоянная (m₀₌4П×10^-7 Гн/м),  - относительная магнитная проницательность среды.

Магнитное поле любого тока в среде может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока:

= d (6)

Расчет вектора магнитной индукции в центре кругового тока

Пользуясь законом Био-Савара-Лапласа, найдем магнитную индукцию в центре кругового токаi. Радиус контура с током полагаем равным r₀ (рис.3). Каждый элемент тока i создает в центре О витка элементарный вектор магнитной индукции , направленный по нормали к плоскости контура. Поэтому векторное сложение величин dв (6) можно заменить сложением скалярных величинdВ. На основании (5) и (6), можно записать:

B=dB =(m m₀ idlsina)/4pr₀² (7)

Угол a между элементом тока iи его радиусом-векторомдля всех элементов тока равенp /2 , а sina=1. Проинтегрируем (7) и получим:

(8)

Если круговой ток содержит N витков, то величина В в центре станет в N раз больше, т.е.:

B=(mm₀Ni)/2r₀ (9)

Расчет вектора магнитной индукции на оси кругового тока

Используя закон Био-Савара-Лапласа, найдем магнитную индукцию в точке, расположенной на расстоянии х, отсчитываемого по оси от плоскости кругового контура с током i. Радиус контура полагаем r₀.Ток течет против часовой стрелки, если смотреть из точки, в которой находим (рис.4а).

Векторы перпендикулярны к плоскостям, проходящим через соответствующиеи, следовательно, они образуют симметричный «Конический веер» (рис.4б).

Для упрощения сложения векторов по (6) разложим каждый вектор на две составляющие:dB_x и dB_y. При сложении векторов dB все вертикальные составляющие в сумме дадут 0, поэтому (6) перепишется в виде:

B= dB_x

Из рис.4а. видно, что модуль dB_x равен:

ôdB_xô= dBsinb=dB(r₀ / r) (10)

Угол a между иявляется прямым, поэтому на основании (5) и (10)

dB_x==[(mm₀ i dl)/4p r²] r₀/r = (mm₀ i dl r₀)/4pr³ (11)

Проинтегрируем (11) по всему контору L=2p r₀ , заменив r на величину . Тогда получим:

(12)

Поток ф вектора магнитной индукции

Потоком Ф вектора магнитной индукции через поверхность S(элементарным магнитным потоком) называется величина, измеряемая скалярным произведением B на dS , т.е.:

Ф = =B cosa=B_n (13)

где B_n -проекция вектора В на внешнюю нормаль n к площадке . Тогда магнитный поток Ф через площадь S равен:

Ф=B_ndS =()dS (14)

Единицей магнитного потока Ф в СИ является Вебер (Вб):

[Ф]=[B][S]=Тл ·м² = Вб

Известно, что магнитные полюса неразделимы. Вследствие этого линии магнитной индукции всегда замкнуты. Тогда для любого магнитного поля при произвольной замкнутой поверхности имеет место равенство:

Ф=B_n dS=0 (15)

Формула (15) выражает теорему Остроградского-Гаусса для магнитного поля: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю. Из замкнутого характера силовых линий магнитного поля следует вывод об отсутствии магнитных зарядов или магнитных масс.