13

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

С.М.РАЗИНОВА, И.П.ШАПКАРИН, О.Н.ГЛАГОЛЕВА

Методические указания к лабораторной работе №89 «Исследования затухающих электромагнитных колебаний в замкнутом колебательном контуре»

Утверждено в качестве методического пособия

Редакционно-издательским советом МГУДТ

МГУДТ 2003

УДК 53 (075.8)

Р – 21

Ш - 21

Г- 5

Куратор РИС Козлов А.С.

Работа рассмотрена на заседании кафедры физики и рекомендована к печати.

Зав. кафедрой Шапкарин И.П.

Автор: С.М.Разинова, доц.

И.П.Шапкарин, к.т.н., доц.

О.Н.Глаголева, к.ф.-м.н., доц.

Рецензент: Родэ С.В. к.ф.-м.н., доц.

Р-21 Разинова С.М. Исследования затухающих электромагнитных колебаний в замкнутом колебательном контуре: методические указания./ Разинова С.М., Шапкарин И.П., Глаголева О.Н. – М.: ИИЦ МГУДТ, 2003 – 13 стр.

Методическое указание к лабораторной работе «Исследования затухающих электромагнитных колебаний в замкнутом колебательном контуре» содержит теоретическое введение и практическую часть, в которой исследуются основные параметры контура. В лабораторной работе используется осциллограф для определения параметров контура.

Для студентов 1-2 курсов всех специальностей.

УДК 53 (075.8)

© Московский государственный университет

дизайна и технологии, 2003

Лабораторная работа №89

“Исследование затухающих электромагнитных колебаний в замкнутом колебательном контуре”

Цель работы: изучение затухающих электромагнитных колебаний

и определение величин, характеризующих процессы в замкнутом колебательном контуре.

Приборы и принадлежности: рабочая панель с замкнутым колебательным контуром, электронный осциллограф ЭОУ, источник импульсного напряжения (генератор развёртки другого ЭОУ).

Введение

Свободные электромагнитные колебания

Известно, что электромагнитные колебания можно возбудить в системе, называемой колебательным контуром. Реальный колебательный контур состоит из ёмкости С, индуктивности L и резистора R (рис.1), соединённых последовательно.

Если предварительно заряженный конденсатор С замкнуть на индуктивность L, то конденсатор начнёт разряжаться, и по контуру будет проходить изменяющийся со временем ток . Когда заряд конденсатора станет равен 0, ток в контуре достигнет максимума. В этот момент достигнет максимума и пропорциональное току магнитное поле, сконцентрированное главным образом в катушке L. Изменения магнитного поля приводят к возникновению в контуре ЭДС самоиндукции, которая, согласно закону Ленца, сначала замедляет скорость разрядки конденсатора. После того, как конденсатор полностью разрядится, ЭДС самоиндукции начнёт поддерживать ток в прежнем направлении. В результате происходит перезарядка конденсатора. Затем процесс разрядки начинается снова, но ток идет в обратном направлении и т .д.

Во время разрядки конденсатора С его электрическая энергия (Сu²/2) превращается в энергию магнитного поля тока в контуре, сосредоточенную, главным образом в катушке (Li²/2) и наоборот.

Максимальные значения напряжения в конденсаторе U_сm и тока в контуре _m носит название амплитуд колебаний напряжения и тока. Так как контур всегда обладает некоторым активным сопротивлением R, то часть энергии электромагнитных колебаний превращается в тепло. Вследствие этого энергия, запасенная в контуре, постепенно уменьшается, а амплитуда колебаний U_сm или _m убывает со временем. Уменьшение энергии электромагнитных колебаний из-за потерь на излучение для замкнутого контура, используемого в данной работе, пренебрежимо мало по сравнению с энергией контура, и поэтому не принимается во внимание.

Составим уравнение, описывающее затухающие колебания в замкнутом контуре. На основании второго закона Кирхгофа для цепи, приведённой на рис.1 имеем:

iR + U_с = , (1)

где U_с - напряжение на конденсаторе, равное q/c, q - заряд конденсатора, i - ток в цепи,  - ЭДС самоиндукции, возникающая вследствие изменения тока при перезарядки конденсатора .

Согласно закону электромагнитной индукции :

 =  L(di/dt) (2)

По определению тока его величина i может быть представлена в виде:

i = dq/dt = (dU_c/dt)C (3)

С учетом (2) и (3) уравнение (1) перепишется в виде:

CR(dU_c/dt)+ U_с = - LC (d²U_c/dt²) (4)

или

LC(d²U_c/dt²) + CR(dU_c/dt) + U_с = 0

Разделив на LC получим дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний:

d²U_c/dt² + R/L(dU_c/dt) + (1/LC)U_c = 0 (5)

Введем обозначения

R/L = 2, 1/LC = ₀² (6)

 называют коэффициентом затухания, а ₀ - собственная частота колебаний, возникающих в контуре при R=0.

Решение уравнения (5) зависит от соотношения  и ₀ .

Рассмотрим некоторые возможные случаи.

Случай 1 . ² < ₀² , т.е. R²/4L < 1/LC, что соответствует слабому затуханию. Решение уравнения (5) при этом условии:

u_с = U_co e^t cos(t+ ) (7)

где U_co - максимальное напряжение на конденсаторе при t=0, - начальная фаза колебания и  =  ₀²-² - частота затухающих колебаний в контуре. График функции (7) показан на рис.2.

Частота  зависит от параметров контура:

= (8)

При малом затухании колебания в контуре можно считать гармоническими, совершаемыми с частотой  и амплитудой U_cm=U_me^t, уменьшающейся со временем по экспоненциальному закону . Несмотря на то ,что затухающие колебания не являются, строго говоря, периодическими, для них тоже можно ввести понятие периода, колебания, как промежутка времени между двумя последовательными прохождениями величины U_c через максимум или минимум. Тогда:

T= (9)

Для характеристики затухания колебаний пользуются понятием логарифмического декремента затухания . Логарифмический декремент затухания определяют как логарифм отношения двух последовательных максимальных значений напряжения:

= ln(U_cm1/ U_cm2) = ln(U_om e^-βt / U_om e^-β(t+T))= T (10)

где U_сm1 и U_сm2 - амплитуды напряжений, соответствующие моментам времени, отличающимся на период Т (рис.2).

Коэффициент затухания является величиной, обратной времени , в течение которого амплитуда U_сm уменьшается в e раз, т.е.

  1/ (11)

С учетом (11) формулу (10) можно преобразовать:

= ln(U_cm1/ U_cm2) = T = T/ = N_e (12)

где N_е показывает число колебаний в контуре, через которое амплитуда уменьшается в e раз .

В радиотехнике качество контура оценивается его добротностью Q .Она определяется, как величина, обратно пропорциональная его логарифмическому декременту затухания :

Q = /  =  N_e (13)

Из (13) следует, что добротность контура тем выше, чем больше число колебаний успевает совершиться, прежде, чем амплитуда уменьшится в e раз. Покажем , что добротность Q контура характеризует процесс изменения энергии контура со временем .

Энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды напряжения, т.е.

W = W₀ e^2t (14)

где W₀ - значение энергии при t=0. найдем скорость изменения энергии, продифференцировав (14) по времени t:

dW/dt = -2W₀ e^2t = -2W (15)

При условии, что затухание слабое ( « ₀ ) , убыль энергии за период согласно (15) будет равна :

W/t = -2W ; - W = 2WT (16)

или

- W = 2W = (2/ Q)W (17)

Отсюда:

Q = 2 W/ - W (18)

Из (18) следует, что при слабом затухании добротность Q оказывается пропорциональной отношению энергии, запасенной в контуре, к убыли этой энергии за один период колебания .Добротность контура тем выше, чем меньше затухание колебаний в нем .

Используя (6) , (9) и (13) получим для Q при слабом затухании:

Q = 1/R (19)

Случай 2: ² = ₀². При этом условии частота колебаний  (формула (8) обращается в нуль, а период T в бесконечность, т.е. колебания совершаться не будут, решение уравнения (5) в этом случае имеет вид:

u_с = ( a +bt ) e^t , (20)

где a и b – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий . В зависимости от a и b величина U_с с течением времени не проходит через максимум ни разу , или проходит через него один раз.

При t  ∞ величина U_с по (20) асимптотически стремится к нулю. Такой процесс называется апериодическим. График его представлен на рис.3.

Выполнение условия ² = ₀² зависит от параметров контура. Оно возможно, исходя из (8) при

R_k = 2 (21)

Сопротивление R_k называется критическим. Если сопротивление контура становится равным R_k, то колебания в контуре не возникают. Такой режим работы контура тоже называют критическим.

Случай 3. ² >₀². В этом случае частота затухающих колебаний мнимая, и колебания в контуре не возникают. Как и в случае 2, процесс изменения напряжения U_с носит апериодический характер.

Фазовая кривая

Картину колебаний в контуре можно представлять не только в координатах U_с, t (такая картина имеет вид синусоиды с уменьшающейся амплитудой, рис .2). Можно исследовать колебательный процесс в контуре, используя координаты i и U_с т.е. наблюдая зависимость i=f(U_с). Кривая, изображающая эту зависимость называется фазовой кривой .

Если колебания напряжения U_c происходят по направлению координатной оси X, а колебания тока i - по направлению оси Y, то результирующие движение воспроизводит зависимость i=f(U_с). При этом в случае незатухающих колебаний (=0 ) фазовая кривая представляет собой эллипс. Известно, что эллипс получается в результате сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты. В случае, если   0, амплитуды напряжения U_с (по X) и тока i (по Y) уменьшаются с течением времени, что приводит к более сложной форме фазовой кривой - скручивающейся спирали (рис.4а).

Если активное сопротивление контура R больше критического или равно ему (R  R_к), то колебания в контуре не возникают, происходит апериодический разряд конденсатора, и фазовая кривая имеет вид, показанный на рис.4б.

Описание установки

Исследование затухающих колебаний в замкнутом колебательном контуре проводят на установке, собранной согласно схеме, приведенной на рис 5. Установка размещена на панели, укрепленной вертикально у рабочего стола.

Колебательный контур содержит катушку индуктивности L, набор конденсаторов С, позволяющий изменять ёмкость контура в некоторых пределах, и набор сопротивлений R, с помощью которого изменяют параметры контура, изучая процессы в нем как при R < R_к, так и при R > R_к. Индуктивность катушки L = 210^-3 Гн, и при проведении опытов она остаётся постоянной.

Колебательный контур через специальный конденсатор C₁ соединяется с генератором развертки этого же осциллографа ЭОУ, на экране которого наблюдают зависимость U_с=f(t) . Выход генератора развертки находится на панели сзади ( верхнее гнездо X). Через конденсатор С₁ импульс напряжения обратного хода развертки попадает в контур, вызывая в нем ударное возбуждение, т.е. быструю зарядку конденсатора С. Если подобрать период развертки равным или несколько большим времени затухания колебаний в контуре, то за каждый такой период конденсатор контура будет заряжаться от внешнего источника только один раз. Остальные процессы в контуре будут происходить за счет этой порции запасенной энергии.

Определение параметров, характеризующих процессы в изучаемом колебательном контуре, проводят по зависимости U_с=f(t), наблюдаемой на экране осциллографа ЭОУ. Для этого напряжение U_с с конденсатора С подается на вход У ЭОУ,а на выход Х - напряжение от генератора развертки этого же осциллографа (рис.5) . Затем переключаются ручки “диапазон частот “ и “частота плавно” до тех пор, пока на экране не появится зависимость U_с=f(t) в масштабе, удобном для измерений.

Для наблюдения на экране осциллографа фазовой кривой необходимо: напряжение, существующее на конденсаторе С, подать на выход Х, а напряжение с резистора R, которое пропорционально протекающему по нему току i (U_R~i~c dU_с / dt ), подать на вход У. При этом луч на экране осциллографа воспроизведет зависимость i=f(u_с) . При получении фазовой кривой выключают генератор развертки того осциллографа, на экране которого проводят наблюдение ( переключатель диапазонов частот развертки ставят в положение “0” ). Рис. 6.

Входное сопротивление ЭОУ велико ( 0,5 Мом ), вследствие чего его влиянием на процессы в изучаемом контуре можно пренебречь.