16

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

С.М.РАЗИНОВА, И.П.ШАПКАРИН, О.Н.ГЛАГОЛЕВА

Методические указания к лабораторной работе №87 «определение индуктивности катушки»

Утверждено в качестве методического пособия

Редакционно-издательским советом МГУДТ

МГУДТ 2003

УДК 53 (075.8)

Р – 20

Ш - 20

Г- 4

Куратор РИС Козлов А.С.

Работа рассмотрена на заседании кафедры физики и рекомендована к печати.

Зав. кафедрой Шапкарин И.П.

Автор: С.М.Разинова, доц.

И.П.Шапкарин, к.т.н., доц.

О.Н.Глаголева, к.ф.-м.н., доц.

Рецензент: Бочаров В.Г., д.т.н., проф.

Р-20 Разинова С.М. Определение индуктивности катушки: методические указания./ Разинова С.М., Шапкарин И.П., Глаголева О.Н. – М.: ИИЦ МГУДТ, 2003 – 16 стр.

Методическое указание содержат теоретическое введение об индуктивности и о влиянии ее на параметры цепи переменного тока. Экспериментальная часть дает возможность рассчитать параметры катушки и оценить влияние сердечника на индуктивность.

Для студентов 1-2. курсов всех специальностей.

УДК 53 (075.8)

© Московский государственный

университет дизайна и технологии, 2003

Лабораторная работа №87 Определение индуктивности катушки

Цель работы: исследование влияния сердечника на величину индуктивности катушки.

Приборы и принадлежности: источник переменного тока частотой 50 Гц; катушка с подвижным сердечником, амперметр, вольтметр, реостат, провода.

Введение По закону Био-Савара-Лапласа:

dB = (μ₀ μ Idl sin (dl ^ r))/ 4πr² .

Следовательно, B ~ I.

Магнитный поток одного витка с током Ф' = BS cos (B ^ n),т.е. Ф'~ I. Катушка содержит N витков. Тогда полный магнитный поток Ф=NФ' пропорционален протекающему току Ф = LI. Коэффициент пропорциональности L между силой тока и полным магнитным потоком называется индуктивностью.

Индуктивность L зависит от формы и размеров катушки, а также от магнитных свойств (от μ) окружающей среды.

За единицу индуктивности в СИ принимается индуктивность такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1А возникает поток равный 1Вб. Эту единицу называют Генри (Гн).

Индуктивность длинного соленоида через параметры соленоида выражается так:

L = μ₀ μ n² l S,

где l – длина соленоида, S – площадь поперечного сечения, n – число витков на единицу длины (произведение n l дает полное число витков N).

Индуктивность в цепи переменного тока

Переменным током называют такой ток, у которого изменяются со временем величина и направление. Наиболее распространенным переменным током является ток, изменяющийся по гармоническому закону, т.е. по закону синуса или косинуса с течением времени (рис.1). Переменный ток i в элементе цепи порождается напряжением u, изменяющимся со временем также по гармоническому закону. Переменные ток i и напряжение u могут быть представлены в аналитическом виде:

i = I_m sin(t + ), ₍₁₎

u = U_m sin(t + ),

где  - круговая частота изменения тока и напряжения, t - текущее время,  - начальная фаза колебания i и u, I_m и U_m - амплитудные значения соответственно тока и напряжения.

Круговая циклическая частота  = 2, где  - частота, равная для осветительной и силовой цепей 50 Гц. При такой частоте переменный ток является квазистационарным. Для квазистационарных токов сохраняют силу законы Кирхгофа и закон Ома для неоднородного участка цепи.

Понятие о векторных диаграммах.

Известно, что если точка движется равномерно по окружности радиуса А с угловой скоростью, то проекция ее на вертикальное направление (рис. 2) совершает колебания, описываемые соотношением:

a = A_m sin(t + ), (2)

где A_m - радиус-вектор этой точки, вращающийся с угловой скоростью  ,  - угол, характеризующий первоначальное положение радиуса-вектора A_m относительно горизонтальной оси. Для колеблющейся проекции a величина  является мерой начальной фазы колебания.

В момент времени t₁ радиус-вектор будет повернут относительно начального положения на угол t₁. Величина его проекции на вертикальное направление будет равна A_m sin(t₁ + ).

Очевидно, что величина проекции a радиуса-вектора A_m на вертикальное направление станет максимальной в момент времени t₂, при котором t₂ +  = /2, т.е. A_m sin(t₂ + ) = A_m sin /2 . Далее, по мере вращения радиуса-вектора величина проекции a , оставаясь положительной, уменьшается, достигая нулевого значения в момент времени t₄. В следующие моменты времени величина a становится отрицательной, а с момента t₇ снова положительной и т.д.

Следовательно, всякому колебательному процессу, происходящему по закону синуса или косинуса, можно поставить в соответствие равномерное вращение вектора, ориентированного определенным образом относительно горизонтальной или вертикальной оси. При этом длина вектора должна быть равна амплитудному значению колеблющейся величины. Вращение вектора должно происходить против часовой стрелки с постоянной круговой частотой , связанной с периодом колебания  = 2/T.

Представление переменной величины, изменяющейся по гармоническому закону, с помощью вращающегося вектора называют векторной диаграммой. Особенно широко этот способ представления применяется при одновременном анализе нескольких переменных величин, сдвинутых по фазе относительно друг друга (рис. 3).

Резистор в цепи переменного тока.

Элемент электрической цепи, предназначенный для использования его электрического сопротивления, называют резистором ( R ). Резистор, питаемый переменным напряжением u , показан на рисунке 4а .

Если напряжение изменяется по закону

u = U_m sin t, (3)

то мгновенное значение тока в цепи с R определяется согласно закону Ома.

i = u/R = (U_m/R) sin t = I_m sin t (4)

Из этого следует, что изменение тока и напряжения совпадают по фазе. Векторная диаграмма для цепи с резистором R показана на рисунке 4б , а график мгновенных значений тока и напряжения на рисунке 4в .

Мгновенная мощность в цепи резистора R равна произведению мгновенных значений тока и напряжения:

p = iu = I_m sin t U_m sin t = I_m U_m sin²t (5)

Из графика 4в видно, что мощность изменяется от 0 до P_m , оставаясь все время положительной. Это означает, что в цепи с резистором R электрическая энергия все время поступает из цепи к приемнику R. В нем энергия необратимо преобразуется в тепло, за счет которого происходит нагрев резистора R и рассеивание энергии в окружающем пространстве (диссипация). Величина электрического сопротивления резистора R в этом случае называется активным сопротивлением цепи переменного тока.

Эффективное значение переменного тока.

Если переменный ток i проходит по резистору R , то в нем выделяется тепло. Следовательно, по тепловому действию можно сравнить переменный и постоянный токи и установить их энергетическую равноценность или эквивалентность. Поэтому переменный ток i удобно характеризовать эффективным (действующим) его значением I_эф.

Эффективным значением I_эф переменного тока i называют такой неизменный во времени ток, при котором в резисторе с активным сопротивлением R за единицу времени выделяется такое количество энергии (тепла), что и при заданном переменном токе.

Энергия, выделяющаяся в единицу времени в R при переменном токе i , определяется равенством:

p = 1/T₀ ^Т iudt = 1/T₀ ^Т I_m U_m sin²tdt = (I_m²R)/T₀ ^Т sin² t dt =

= (I_m²R)/T₀ ^Т 1/2(1-cos2t)dt = (I_m²R)/T ^. T/2 = (I_m² R)/2 (6)

Энергия, выделяющаяся в единицу времени R при неизменном токе I_эф , определяется равенством:

p = I_эф U_эф = (I_эф)² R (7)

После приравнивания (6) и (7) получим:

(I_эф)² R = (I_m² R)/2 ,

откуда

I_m = I_m/2, (8)

Аналогично для переменных напряжений, э.д.с. :

U_эф = U_m/2 ,  _эф = _m /2 (9)

Соотношение типа (8) и (9) имеют место только для токов и напряжений, изменяющихся со временем по гармоническому закону.

Шкалы измерительных приборов переменного тока отградуированы соответственно в эффективных значениях тока и напряжения. Например, если прибор показывает напряжение 4В, то это означает, что амплитуда напряжения U_m равна: U_m=2U_эф = 1,41^.4 = 5,64В.

При этом мгновенное значение напряжения u следует определять по формуле: u = U_m sin t = 5,64 sin t .

Для измерения эффективных значений используют приборы электромагнитной, электродинамической, ферродинамической, термоэлектрической систем и электронные вольтметры.

Индуктивность в цепи переменного тока.

Проанализируем процессы в цепи, содержащей катушку индуктивности L рисунок 5а , считая ее активное сопротивление R настолько малым, что им можно пренебречь (R = 0).

Предполагаем, что ток в индуктивности L изменяется по закону:

i = I_m sin t (10)

Переменный ток i создает в катушке L переменное магнитное поле и переменный магнитный поток  = Li . Согласно закону электромагнитной индукции в катушке возникает ЭДС самоиндукции, равная:

_L = -L(di/dt), (11)

где di/dt - скорость изменения тока i в катушке.

На основании закона Ома для неоднородного участка цепи можно записать:

0 = ( ₁ - ₂ )+ _L (12)

Переменная разность потенциалов (₁ - ₂) является напряжением питающим, катушку L , т.е. u_L .Тогда _L = - u_L и

u_L = L ( d(I_m sin t )/dt ) = L I_m  cos t =

=  I_m L sin ( t + /2 ) = U_mL sin (t + /2 ) (13)

Из сравнения (13) и (10) следует, что ток i в цепи с индуктивностью L и напряжение на L изменяются по синусоидальному закону, но напряжение u_L опережает по фазе ток i на /2. Векторная диаграмма для цепи с L показана на рисунке 5б , а графики мгновенных значений i и u_L на рисунке 5в.

Мгновенное значение мощности p для такой цепи равно:

p = iu = I_m sin t ^.U_m sin (t + /2) = (I_mU_m /2) sin2t (14)

Соотношение (14) показывает, что мгновенное значение мощности в цепи с L изменяется по синусоидальному закону, но с частотой, в 2 раза большей частоты тока. При этом среднее значение мощности за период равно нулю:

p = 1/ T ₀ ^Т iu ^. dt = 0

Для пояснения энергетических процессов в цепи с L воспользуемся рисунком 5в. В интервале времени от t₀ = 0 (точка 1) до t₀ = Т/4 (точка 2), когда ток в цепи возрастает от 0 до I_m электрическая энергия поступает в катушку и преобразуется в ней в энергию магнитного поля W_L (W_L = I_m² L /2). Можно показать, что эта энергия равна заштрихованной площади под графиком p = f (t) в интервале времени между точками 1 и 2 (отмечена на графике знаком “+”). В интервале времени между t₁ = Т/4 (точка 2) и t₂ = 2 Т/4 (точка3) ток в цепи убывает. Энергия , отданная в сеть, равна заштрихованной площади под графиком p = f (t) между точками 2 и 3 (отмечена на рисунке 5в знаком “-“ ) Из рисунка 5в видно , что площади, характеризующие запасенную и отданную энергии, равны. Следовательно, энергия, накопленная в индуктивности в первой четверти периода, полностью возвращается в сеть во вторую четверть периода.

В следующую четверть периода, т.е. между точками 3 и 4 , изменяются направления тока и магнитного потока. Происходят процессы, аналогичные процессам первой четверти периода, т.е. электрическая энергия поступает из сети в катушку и преобразуется в энергию магнитного поля. В последнюю четверть периода, т.е. в интервале времени от 4 до 5, энергия магнитного поля преобразуется в электрическую и возвращается в сеть.

Таким образом в цепи с индуктивностью L непрерывно происходит обратимый процесс преобразования электрической энергии в магнитную, или периодический процесс обмена энергией между сетью (источником энергии ) и индуктивностью.

Проанализируем величину амплитудного значения напряжения на индуктивности, равную: U_mL = L I_m . По аналогии с законом Ома для участка цепи коэффициент пропорциональности между напряжением U_mL и током I_m, равный L, получил название индуктивного сопротивления X_L :

X_L = L (15)

В отличие от активного сопротивления резистора R , X_L является реактивным сопротивлением катушки L , т.к. прохождение переменного тока по индуктивности не сопровождается необратимыми преобразованиями электрической энергии в другие виды.

Цепь переменного тока, содержащая

активное сопротивление R и индуктивность L.

Реально существующие обмотки двигателей электромашин, электромагнитов, реле, индуктивные катушки колебательных контуров и пр. обладают одновременно и активным сопротивлением R, и индуктивностью L. Для удобства анализа такой цепи катушку (обмотку) обычно изображают в виде двух идеальных элементов - резистивного R и индуктивного L , соединенных последовательно. При этом участок цепи содержащий L , считают обладающим индуктивным сопротивлением X_L .

На основании закона Ома для неоднородного участка цепи можно записать:

iR = (₁ - ₂) + _L (16)

С учетом формул (4) и (13) это выражение примет вид:

I_m R sin t = u - I_mX_Lsin(t + /2)

или:

u = I_mR sin t - I_mX_Lsin(t + /2) = u_R + u_L (17)

Следовательно, напряжение u, подводимое от генератора, является суммой двух напряжений: u_R - на активном сопротивлении R и u_L - на индуктивном сопротивлении X_L . При этом u_R совпадает по фазе с током i , а u_L - опережает ток i на /2. Векторная диаграмма такой цепи приведена на рисунке 6б.

Из диаграммы следует, что вектор напряжения от генератора U_m равен сумме векторов U_mR и U_mL , а модуль его можно определить:

U_m =  U²_mR + U²_mL = ( I_mR )² + ( I_mX_L )² = I_m R²+ X_L² (18)

Величина Z = R²+ X_L² является полным ( кажущемся ) сопротивлением цепи, приведенной на рисунке 6а, переменному току i.

Напряжение u, поступающее от генератора, опережает по фазе ток i, т.е. u =

= U_m sin (t +  ) на величину , определяемую из равенства:

cos = U_mR / U_m = I_mR/ I_m R²+ X_L² = R /  R²+ X_L² (19)

График мгновенной мощности p показан на рисунке 6в . В промежуток времени от t₀ = 0 (точка 1) до t₂ (точка 2) электрическая энергия поступает от генератора в рассматриваемую цепь. Она преобразуется в тепло в резисторе R и в энергию магнитного поля в индуктивном элементе L. В период времени от t₂ (точка 2) до t₃ = Т/2 (точка 3) энергия магнитного поля , запасенная в L, преобразуется в электрическую и возвращается в сеть. Энергия, отданная в сеть, равна заштрихованной площади под графиком p = f (t) между точками 2 и 3 (отмечена на рисунке 6в знаком “-“) . Во вторую половину периода изменения тока описанные энергетические процессы повторяются при противоположном направлении тока.

Поскольку индуктивное сопротивление X_L составляет только часть полного сопротивления Z, обратимые превращения электрической энергии в индуктивности L составляют часть от всей энергии, подводимой к рассматриваемой цепи.

Обоснование метода измерений.

Схема для определения индуктивности катушки содержит элементы приведенные на рисунке 7:

Измерив ток I_эф с помощью амперметра А и напряжение на катушке U_эф с помощью вольтметра V, можно определить величину полного сопротивления Z:

Z = U_эф / I_эф = U_m / I_m (20)

Зная величину активного сопротивления катушки R, определяют X_L==  Z²- R². На основании формулы (15) можно рассчитать L :

L = ( Z²- R² )/ =( Z²- R² )/ 2 , (21)

где  - частота промышленного переменного тока ( = 50 Гц ).

Описание установки.

Установка для определения индуктивности катушки собрана на отдельной панели, расположенной на рабочем столе, в соответствии со схемой, приведенной на рисунке 8:

Катушка индуктивности представляет

собой соленоид небольшой длины,

внутрь которого может быть введен

полностью или частично железный

сердечник. Величина активного

сопротивления R катушки указана на ее корпусе .

Величину индуктивности L катушки следует определять при разных положениях сердечника. Реостат R₁ служит для изменения тока, текущего по катушке. Ток в катушке измеряют амперметром. Значения эффективного напряжения фиксируют с помощью цифрового вольтметра. Установка питается переменным током промышленной частоты от понижающего трансформатора.

Порядок выполнения работы.

1. Ознакомиться с рабочей панелью для определения индуктивности катушки.

2. Включают понижающий трансформатор и цифровой вольтметр в сеть с напряжением 220 В. Предел измерения напряжения устанавливают 220 В с помощью кнопочного переключателя, расположенного на лицевой панели цифрового вольтметра.

3. Полностью вводят внутрь катушки железный сердечник. С помощью R₁ устанавливают ток, протекающий по катушке L и измеряют его величину миллиамперметром, установив переключатель предела измерений на 10 мА. Начиная с меньшего значения тока измеряют величины напряжений на катушке при соответствующих значениях тока. Опыт повторяют трижды. Значения трех произвольно выбранных различных значений тока и соответствующих значений напряжений заносят в таблицу. По формулам (20) и (21) рассчитывают значения Z , а затем L катушки с полностью введенным сердечником.

4. Выдвигают сердечник из катушки наполовину и по вышеприведенной методике измеряют три различных значения тока и соответствующих значений напряжения. Результаты измерения заносят в таблицу. Рассчитывают величину индуктивности катушки при введенном сердечнике в катушку наполовину.

5. Повторяют измерения тока в катушке и соответствующих значений напряжения при полностью выведенном из катушки сердечнике. Рассчитывают значение индуктивности катушки при выведенном из катушки сердечнике.

6. Рассчитывают абсолютную и относительную погрешности методом косвенных измерений с учетом класса точности измерительных приборов. Класс точности измерений миллиамперметра 0,5. Класс точности измерений вольтметра составляет 0,2 (см. методические указания к лаб. работам «Электромагнетизм» I часть стр. 6-7).

7. На миллиметровой бумаге построить векторную диаграмму для одного случая по указанию преподавателя.

Таблица

Условия опыта	№ п/п	Uэф	Iэф	Z	XL	L	LСР	L	LСР	 L=Lср/Lср
сердечник введен полностью L	1 2 3
сердечник введен наполовину L1	1 2 3
сердечника нет L2	1 2 3

Вопросы для допуска к работе.

1. Объясните назначение всех элементов схемы для определения коэффициента самоиндукции катушки ?

2. Какую величину тока и напряжения измеряют приборы ?

3. Опишите порядок выполнения работы ?

4. За счет чего происходит изменение показаний амперметра и вольтметра при определении индуктивности L₁ по сравнению с L ?

5. В каких условиях определяют L₂ ?

6. Как находят полное сопротивление катушки Z в этой работе ?

Вопросы для защиты работы.

1. Объясните процессы, происходящие в цепи переменного тока при наличии в ней катушки индуктивности ( R = 0 )

2. От чего зависит величина ЭДС самоиндукции, возникающей в индуктивном элементе L цепи?

3. Каков сдвиг фаз между током i и напряжением в цепи переменного тока, содержащей идеальный индуктивный элемент ?

4. Объясните векторную диаграмму для цепи, содержащей реальную катушку индуктивности ( R  0 ).

5. Объясните векторную диаграмму для цепи, содержащей только индуктивность ( R = 0 ).

6. Закон Ома для цепи переменного тока, содержащей реальную катушку индуктивности ( R  0 ).

7. Формула для определения величины индуктивного сопротивления. В каких единицах она измеряется ?

8. От чего зависит величина индуктивности ? В каких единицах она измеряется ?

9. Почему индуктивное сопротивление считают реактивным ? Какие преобразования энергии сопровождают прохождение переменного тока через идеальную индуктивность ?

10. Какая величина тока называется “ эффективным значением ” переменного тока I _эф ?

11. Какое сопротивление катушки называют активным сопротивлением ? Какие превращения энергии сопровождают прохождение переменного тока по реальной катушке ?

12. Выведите формулу полного сопротивления цепи Z , содержащей реальную индуктивность ? Объясните вывод. Почему величина Z не может быть рассчитана как сумма активного сопротивления R и индуктивного сопротивления X_L катушки , т.е. Z  R + X_L ?

13. Почему переменный ток промышленной частоты можно считать квазистационарным ?

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Разинова Светлана Михайловна, доцент

Шапкарин Игорь Петрович, к.т.н., доцент

Глаголева Ольга Николаевна, к.ф.-м.н., доцент

Методические указания к лабораторной работе №87

«Определение индуктивности катушки»

Компьютерная верстка Матус А.А.

Технический редактор Киреев Д.А.

Ответственный за выпуск Морозов Р.В.

Бумага офсетная. Печатная на ризографе

Усл.печ.л.___Тираж 300 экз. Заказ №___

Информационно-издательский центр МГУДТ