7

Кафедра физики Рабочая тетрадь к лабораторной работе n 97

л а б о р а т о р н а я р а б о т а N 97

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ В СВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТУРАХ.

Цель работы: изучение биений в связанных электрических контурах.

Приборы и принадлежности: источник питания, звуковой генератор, осциллограф, плата, на которой смонтирован преобразователь импульсов и связанные контуры.

1. Описание установки и принципа измерений.

Колебательные процессы различного происхождения, независимо от их природы, описываются одинаковыми уравнениями, в которых только коэффициенты зависят от природы параметра, совершающего колебания.

В данной работе предполагается изучить колебания, возникающие в связанных электрических контурах.

Для лучшего понимания происходящих в такой системе про-

цессов имеет смысл рассмотреть систему упругих маятников,

связанных между собой слабой упругой связью (рис. 1).

Будем считать, что массы m₁ и m₂ (m₁ = m₂ = m) подвешены на двух одинаковых пружинах 1 и 2 жесткости k₁ = k₂ = k и связанных между собой пружиной 3 жесткостью к₁₂ (условие слабой связи k₁₂  k).

Если один из грузов вывести из положения равновесия на величину х₁, а второй - на х₂, то появятся упругие силы, стремящиеся вернуть систему в положение равновесия.

При этом результирующая сила f₁ , действующая на первый груз равна

f₁ = -k₁x₁ - k₁₂(x₁ - x₂), (1)

а результирующая сила f , действующая на второй груз -

f₂ = -k₂x₂ - k₁₂(x₁ - x₂) (2)

Тогда, уравнения движения каждого груза примут вид:

+ k₁x₁ + k₁₂(x₁ - x₂) = 0 (3) + k₂x₂ + k₁₂(x₁ - x₂) = 0 (4) 1

Сложив уравнения (3) и (4), получим:

+ k(x₁ + x₂) = 0, (5)

а вычитая из уравнения (3) уравнение m₁

(4) -

+ (k + 2k₁₂)(x₁ - x₂) = 0 (6)

(Здесь учтено, что x₁ - x₂ = -(x₂ - x₁)) 3

Теперь введем обозначения: x₁ + x₂ = X₁, x₁ - x₂ = X₂.

Тогда уравнения (5) и (6) примут вид:

m + kX₁ = 0 (7)

и

+ (k + 2k₁₂)X₂ = 0 (8)

Решениями уравнений (7) и (8) будут функции вида:

X₁ = Acos(₁t + ₀₁) (9)

и 2

X₂ = Bcos(₂t + ₀₂) , (10)

где ₁ = - частота, с которой бы m₂

колебался каждый груз при от- сутствии связи между ними и ₂ = .

Рис. 1

Частоты ₁ и ₂ носят название нормальных частот. Константы А,В, ₀₁ и ₀₂ обычно находят из начальных условий. Так, например, если в начальный момент скорости тел были равны нулю, то из X (0)=X (0)=0 следует, что ₀₁ = ₀₂ = 0. Будем считать, что это условие всегда выполняется.

Пусть x₁(0) = x₀₁, а x₂(0) = x₀₂. Тогда, с учетом того, что x₁(t) = (X₁ + X₂ )/2 и x₂(t) = (X₁ - X₂)/2, можно записать:

x₁(t) = (Acos₁t)/2 + (Bcos₂t)/2 (11)

и

x₂(t) = (Acos₁t)/2 - (Bcos₂t)/2 (12)

В начальный момент x₁(0) = x₀₁ = (A+B)/2 и x₂(0)= x₀₂ = (A-B)/2.

Отсюда следует, что A = x₀₁ + x₀₂, a B = x₀₁ - x₀₂. С учетом этих соотношений общее решение уравнений (5) и (6) примет вид:

x (t)={(x +x )cos t}/2 + {(x -x )cos t}/2 (13)

и

x (t)={(x +x )cos t}/2 + {(x -x )cos t}/2 (14)

Из равенств (13) и (14) видно, что колебания каждого груза представляют собой суперпозицию двух колебаний с нормальными частотами (модами) ₁ и ₂.

Пусть x₀₁ = x₀₂, т.е. оба маятника отведены от положения равновесия в одну сторону на одинаковые расстояния, тогда они будут колебаться синфазно с частотой ₁ = ₀ ( ₀ - собственная частота колебаний каждого маятника). Если же x₀₁ = -x₀₂, т.е. грузы отведены от положения равновесия на одинаковые расстояния, но в противоположные стороны, то они колеблются в противофазе с частотой ₂.

Пусть начальное отклонение одного из грузов равно нулю (например, x₀₂ = 0). Тогда

x₁(t) = (x₀₁cos₁t)/2 + (x₀₂cos₂t)/2 (15)

x₂(t) = (x₀₁cos₁t)/2 - (x₀₂cos₂t)/2 (16)

или, используя известные тригонометрические соотношения,

x₁(t) = x₀₁cos{(₂ - ₁)t/2}cos{(₁ + ₂)t/2} (17)

x₂(t) = x₀₁sin{(₂ - ₁)t/2}sin{(₁ + ₂)t/2} (18)

Из условия слабой связи (k  k₁₂) следует, что ₂ - ₁  ₁ и, следовательно, cos{(₂ - ₁)t/2} будет изменяться значительно медленнее, чем cos{(₁ + ₂)t/2}. Другими словами, колебания с частотой ₁ ({₁ + ₂}/2  ₁) будут иметь медленно периодически меняющуюся во времени с частотой (₂ - ₁)/2 амплитуду.

Такие колебания получили название "биения".

В рассмотренном нами случае второй груз имеет в начальный

момент амплитуду колебаний равную нулю. Однако, через промежуток времени  = /(₂ - ₁) его амплитуда достигает максимума, а спустя время 2 = 2/(₂ - ₁) - вновь обратится в ноль. Из этого следует, что частота биений равна разности нормальных частот

_б = ₂ - ₁ (19)

С энергетической точки зрения процесс биений можно представить так. В начальный момент времени вся энергия "сосредоточена" в первом теле. Спустя некоторое время энергия через пружину связи "перекачивается" ко второму телу, а затем - обратно.

Таким образом, биения - процесс обмена энергией между двумя гармоническими осцилляторами, собственные частоты которых отличаются незначительно и при t = 0 наблюдается относительный сдвиг фаз этих осцилляторов.

Таким образом, биения - процесс обмена энергией между двумя гармоническими осцилляторами, собственные частоты которых отличаются незначительно и при t=0 наблюдается относительный сдвиг фаз этих осцилляторов.

Биения достаточно наглядно можно наблюдать и в электрической системе - двух одинаковых LC-контурах, связанных между собой слабой емкостной связью. Из условия слабой связи следует, что электрические колебания, возникающие в такой системе, будут иметь медленно периодически меняющуюся во времени амплитуду.

Схема такой установки представлена на рис. 2а, где ПИ - преобразователь импульсов, который и возбуждает колебания в контурах (L₁ = L₂ = L; C₁ = C₂ = C)

C C

L L

ПИ R C₁₂ R к осцил.

Рис. 2а

Для вывода необходимых соотношений воспользуемся принципиальной схемой установки, представленной на рис. 2б, на котором обозначены знаки зарядов на емкостях и направления токов в катушках индуктивности. Продолжая аналогию с упругими маятниками нужно сказать, что, если токи в катушках текут в одинаковых направлениях, то этот случай равносилен отклонению упругих маятников в одну сторону, и наоборот.

I₁ I₂

+ + L + + L + +

C C₁₂ C

- - - - - -

Рис. 2б

Для этих двух контуров (рис. 2б) уравнения движения зарядов будут выглядеть так:

L₁di₁/dt + q₁/C₁ + (q₁ -q₂)/C₁₂ = 0 (20)

L₂di₂/dt + q₂/C₂ + (q₂ -q₁)/C₁₂ = 0 (21)

C учетом того, что индуктивности и емкости в обоих контурах равны и i=dq/dt, получим:

+ q₁/C₁ + (q₁ -q₂)/C₁₂ = 0 (22)

+ q₂/C₂ + (q₂ -q₁)/C₁₂ = 0 (23)

Сложив эти два уравнения, получим:

+ (q₁ + q₂)/C =0 (24)

При вычитании уравнения (23) из (22) получим

+ (1/C + 1/ C₁₂ ) (q₁ - q₂) = 0 (25)

Таким образом мы получили новую систему из двух уравнений с двумя неизвестными Q₁ = q₁ + q₂ и Q₂ = q₁ - q₂, которая выглядит так:

+ Q₁/C = 0 (26)

+ (1/C + 1/C₁₂)Q₂ = 0 (27)

Проведя преобразования, совершенно аналогичные преобразованиям (7) - (14), с учетом того, что q₂(0) = 0, получим:

q₁(t)=(q₀₁cos₁t)/2 + (q₀₂cos₂t)/2 (28)

и

q₂(t)=(q₀₂cos₁t)/2 - (q₀₂cos₂t)/2 , (29)

где ₁ = , а ₂ = .

Производя простые тригонометрические преобразования мы

получаем:

q₁(t) = q₀₁cos[(₂ - ₁)t/2]cos[(₁ + ₂)t/2] (30)

и

q₂(t) = q₀₂sin[(₂ - ₁)t/2]sin[(₁ + ₂)t/2] (31)

Как и в случае с упругими маятниками, частота биений будет равна:

_б = ₂ - ₁ = = =

= (32)

Полученное значение частоты биений можно изменять, варьируя параметры L, C, C₁₂, R схемы, добиваясь, чтобы _б была минимальна.

Исследование биений, т.е. изучение характера обмена энергией между связанными контурами, и является одной из практических задач данной работы.