3. Фомула Стокcа (частный случай формулы Ньютона (15)).

Рассмотрим равномерное движение шарика радиуса r, в жидкости. Обозначим скорость шарика относительно жидкости . Распределение скоростей в соседних слоях жидкости, увлекаемых шариком, должно иметь вид, изображенный на рис. 7.

В непосредственной близости к поверхности шара эта скорость равна , а по мере удаления уменьшается и практически становится равной нулю на некотором расстоянии L от поверхности шарика.

Очевидно, что чем больше радиус шара, тем большая масса жидкости вовлекается им в движение и L должно быть пропорционально r :

L =  r . (17)

Величина коэффициента пропорциональности  несколько различна для передней и задней частей движущегося тела, поэтому, под  мы будем понимать среднее значение этого коэффициента. Тогда среднее значение градиента скорости по поверхности шара равно:

. (18)

Поверхность шара S = 4r² и полная сила трения, испытываемая движущимся шаром, в соответствии с (15) равна

. (19)

Интегрирование уравнений движения вязкой жидкости проведенное Стоксом, дало для шара значение  = 2/3 . Следовательно, сила сопротивления, испытываемая шаром, движущимся в вязком газе или жидкости, прямо пропорциональна динамической вязкости , радиусу шара r и скорости его движения :

F_тр = - 6  r . (20)

Формула (20) носит название формула Стокса.

Для нешарообразных тел численное значение  не равно 2/3 и зависит от формы движущегося тела; в качестве r для этих тел принимается средний поперечный определяющий размер. Величина силы сопротивления движению таких тел в газе или жидкости отличается от выведенной по закону Стокса лишь численным значением коэффициента пропорциональности.

Формула Стокса применима лишь в случае тел достаточно малых размеров и малых скоростей их движения и справедлива при условии , что расстояние от тела до границы жидкости много больше размеров тела. При больших скоростях вокруг движущихся тел возникают сложные вихревые движения жидкости и сила сопротивления возрастает пропорционально скорости в квадрате , а не первой ее степени, как это следует из формул приведенных выше.

Описание установки и принципа измерений

Определение вязкости  основано на использовании формулы Стокса (20), которая в данной работе применяется при исследовании движения шарика малых размеров в цилиндре, наполненном какой-либо жидкостью.

Если шарик положить на поверхность жидкости, то он начнет падать без начальной скорости ( =0) . При этом на шарик будут действовать три силы: сила тяжести F_тяж, сила Архимеда F_А и сила внутреннего трения F_тр (формула Cтокса) (рис.8).

Сила тяжести F_тяж равна:

F_тяж = mg = ₁Vg = ₁ 4/3  r³ g , (21)

где V-объем шарика радиусом r, ₁ - плотность материала шарика, g -ускорение свободного падения.

Сила Архимеда F_а равна:

F_А =₂ Vg = ₂ 4/3  r³ g, (22)

где ₂ - плотность жидкости.

Сила внутреннего трения (формула Стокса) F_тр согласно ( 20) равна:

F _тр = 6   r , (23)

где - скорость падения шарика в какой-либо момент времени.

Сила тяжести шарика превосходит сумму силы трения и силы Архимеда, поэтому в начале падения результирующая сила, равная

F_рез = [F_тяж - ( F_A + F _тр)] = m a, больше нуля и шарик будет двигаться с возрастающей скоростью. Однако, по мере увеличения скорости шарика, будет увеличиваться и сила трения, зависящая от скорости. Такое переменное движение шарика будет происходить до тех пор, пока сумма силы трения и силы Архимеда не сравняется с силой тяжести, тогда результирующая сила станет равной нулю,

m g - F _тр - F _A = 0 (24)

и движение шарика будет равномерным с постоянной скоростью

Опыт показывает, что такой момент времени наступает очень быстро, т.е. шарик, прошедший путь в 8-10 мм в жидкости, уже движется равномерно.

Если шарик не положить на поверхность жидкости, а бросить так, чтобы сначала он летел в воздухе, а потом соприкоснулся с жидкостью со скоростью v₀  0, то его движение в верхнем слое жидкости будет более сложным, чем описано выше, однако и в этом случае довольно быстро наступит момент, когда его движение станет равномерным.

Подставляя в (24) значение сил (21), (22) и (23), получим для коэффициента вязкости выражение:

. (25)

Из (25) легко определить величину  , если скорость падения шарика вычислить через пройденный путь и времяt движения. Значения плотностей ₁ ₂ можно взять из таблиц.