![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- • Заменив y' на , а затем, умножив все члены наdx, получим
- •3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Определение 1.Функция f(X,y) называется однородной функцией n-ого измерения (n-ой степени) относительно переменных X и y,если при любом t справедливо тождество
- •Пример 1.Решить уравнение .
- •4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
- •5. Уравнения в полных дифференциалах
- •6. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Уравнение вида
- •Теорема о структуре общего решения
6. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде
F (x, y, y ' ,y'')=0, |
(6.1) |
или, если это возможно, в разрешённом относительно у''виде
y'' = f(x, y, y' ). |
(6.2) |
Общее решение
|
(6.3) |
этого уравнения содержит две произвольные
постоянные
и
.
Любая функция
|
(6.4)
|
получающаяся из общего решения уравнения
(6.2) при определённых значениях постоянных
,
называется частным решением.
Для дифференциальных уравнений второго порядка задача Коши формулируется следующим образом: найти решение у =y(х) уравнения (6.2), удовлетворяющее начальным условиям
|
(6.5)
|
yгде
и
–
заданные числа.
Сгеометрической точки зрения условия
(6.5) означают,
что
из семейства интегральных кривых,
проходящих
через точку
,
мы выделяем определённую
интегральную кривую, имеющую
заданный угол наклона
.y0
x0x
Рассмотрим простейшие случаи, когда уравнение второго порядка решается с помощью квадратур, т. е. применением операций неопределённого интегрирования.
а)y'' = f (x) (6.6)
Полагаем y'=p(x); тогдаy''=p', и уравнение (6.6) примет видp'=f(x), илиdp= f(x)dx. Отсюда
p==F(x)
+ C1,
где F(x) -первообразная для функцииf(x). Так какp=y' , тоy' = F(x)+ C1, илиdy=F(x)dx+C1dx .
Интегрируя ещё раз, находим общее решение уравнения (6.6)
y=+C1x
+C2.
Пример 1.Найти общее решение уравненияy'' = cos2x.
Положим y'=p(x); тогда y'' =p',следовательно,
p'=cos2x или dp=cos 2x dx.
Интегрируя это уравнение, находим
или
,
т.е.
.
Интегрируя второй раз, находим искомое общее решение:
,
т.е.
б)y'' = f(y) (6.7)
Для решения этого уравнения снова
полагаем
,
но теперь мы будем считатьpфункцией оту(а не от
).
Тогда
.
Относительно вспомогательной функции рполучаем уравнение первого порядка
.
Интегрируя его, найдём ркак функцию
отуи произвольной постоянной:
.
Так как
,
то предыдущее уравнение можно записать
так :
.
Далее, разделяя еще раз переменные и интегрируя, окончательно будем иметь
.
Эту формулу общего решения запоминать не следует, нужно усвоить изложенный способ интегрирования.
Пример 2. Проинтегрировать уравнениеу''= -у.
Цепочка преобразований:
в) y''=f(y' ) (6.8)
Полагаем
.
Уравнение (6.8) примет вид
.
Разделяя переменные и интегрируя,
находим
Определив из полученного уравнения
величину
путем вторичного интегрирования можно
найти
.
Пример 3. Проинтегрировать
уравнение.
Цепочка преобразований:
Возвращаясь к переменной
,
получим
Итак, в рассмотренных простейших случаях
удаётся свести дифференциальное
уравнение второго порядка к уравнению
первого порядка, введя в качестве новой
неизвестной функции производную
Переходим к рассмотрению двух видов уравнений, частными случаями которых являются уравнения (6.7) и (6.8).