35

Лекция 3.

Матрицы. Операции над ними

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. В общем виде матрица записывается следующим образом:

	a11	a12	…	a1n
A=	a21	a22	…	a2n		(1)
	…	…	…	…
	am1	am2	…	amn

Для любого элемента (члена) матрицы a_ij, как и в случае определителей, первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца. Сокращённо матрицу записывают так: A = (a_ij), где i = 1, 2, ... ,m, j = 1, 2, … n.

Виды матриц

Если в матрице число строк не равно числу столбцов (m ≠ n), то матрица называется прямоугольной. Таковы, например, матрицы

	a11	a12
А=	a21	a22				B=	a11	a12	a13
	a31	a32					a21	a22	a23
	a41	a42

Если число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной. Например, квадратными являются матрицы

А=	а11	а12			B=	а11	а12	а13
	а21	а22	,			а21	а22	а23
						а31	а32	а33

Число строк и столбцов квадратной матрицы называют её порядком. В приведённом примере порядок матрицы А равен 2, а порядок матрицы В равен 3.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

	a11	a12	…	a1n
A=	a21	a22	…	a2n		(2)
	…	…	…	…
	an1	an2	…	ann

Она называется невырожденной (неособой), если её определитель D_A не равен нулю. Если же D_A = 0, то матрица – особая (вырожденная). Диагональ, содержащую элементы a₁₁, a₂₂, … a_nn, как и в теории определителей, называют главной, а диагональ с элементами a_1n, a_{2, n-1}, … a_n1 – побочной.

Матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называют диагональными. Например, матрицы

A =	3	0		B =	2	0	0
	0	-5			0	4	0
					0	0	4

являются диагональными матрицами соответственно второго и третьего порядка. Если у диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны между собой, т.е. a₁₁ = a₂₂ = … a_nn, то такая диагональная матрица называется скалярной. Если в скалярной матрице все элементы главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой E. Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Е =	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

Если в матрице (1) m = 1, n > 1, то получим матрицу-строку (однострочечную матрицу)

A = (a₁₁ a₁₂ … a_1n) (3)

Если же m > 1, а n = 1, то получается матрица-столбец (одностолбцевая матрица)

	b11
В=	b21
	…
	bm1

Матрицы-строки и матрицы-столбцы называют также вектор-строкой и вектор-столбцом.

Матрицы А^Т (или А^*) называется транспонированной по отношению к матрице А, если столбцы матрицы А являются строками матрицы А^Т. Так, матрица

	a11	a21	…	am1
AT=	a12	a22	…	am2		(5)
	…	…	…	…
	a1n	a2n	…	amn

является транспонированной по отношению к матрице (1). Квадратная матрица А называется симметричной относительно главной диагонали, если a_ij = a_ji. Очевидно, что симметричная матрица совпадает со своей транспонированной.