- •1. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- • Заменив y' на , а затем, умножив все члены наdx, получим
- •3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Определение 1.Функция f(X,y) называется однородной функцией n-ого измерения (n-ой степени) относительно переменных X и y,если при любом t справедливо тождество
- •Пример 1.Решить уравнение .
- •4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
- •5. Уравнения в полных дифференциалах
- •6. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Уравнение вида
- •Теорема о структуре общего решения
5. Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение
|
(5.1) |
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x,y):
.
Для того чтобы уравнение (5.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы
. |
(5.2) |
Если известна функция, полным дифференциалом которой является левая часть уравнения (5.1), то все решения этого уравнения удовлетворяют условию u(x,y)=C, гдеС - произвольная постоянная.
Чтобы найти функцию u(x,y), воспользуемся равенствами :
. |
(5.3) |
Интегрируя первое из этих равенств по x, считаемy постоянным, и поэтому константа интегрирования может зависеть оту:
, |
(5.4) |
где произвольная дифференцируемая функция,F(x,y)- первообразная отP(x,y). Подберем функциютак, чтобы удовлетворялось второе из соотношений (5.3). Для этого продифференцируем (5.4) поу и результат приравняем к. Таким образом, получим уравнение для определения функции:
. |
(5.5) |
Из (5.5) определяем и, интегрируя, находим. Подставляя эту найденную функцию в соотношение (5.4), получаем искомую функциюu(x,y).
Пример 1. Решить уравнение (2xy+3y2)dx + (x2+6xy-3y2)dy = 0.
В данном случае ,.
,.
Следовательно, , и левая часть данного уравнения является полным дифференциалом некоторой функции. Имеем
,.
Из первого уравнения находим
.
Для определения функции дифференцируем полученное равенство поуи приравниваем выражению
,
т.е. . Отсюда. Поэтому. Общее решение записывается в виде
Пример 2. Решить уравнение.
Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.
.
Функцию u(x,y) найдем из уравнений. Интегрируя второе из этих уравнений поу, считаяхпостоянным, имеем:где− произвольная дифференцируемая функция.. Следовательно,
.
Пусть левая часть уравнения (5.1) не есть полный дифференциал. Иногда удается подобрать такую функцию , после умножения на которую всех членов уравнения его левая часть становится полным дифференциалом. Общее решение полученного таким образом уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения. Функцияназываетсяинтегрирующим множителемуравнения (5.1).
Итак, умножим обе части уравнения (5.1) на
. |
(5.1а) |
Для того чтобы это уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
,
т.е. .
Таким образом, интегрирующий множитель есть решение уравнения
. |
(5.6) |
В некоторых частных случаях уравнение (5.6) упрощается и интегрирующий множитель для уравнения (5.1) легко найти.
Если уравнение (5.1)имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х , т.е., то из уравнения (5.6)имеем
. |
(5.7) |
Если уравнение (5.1) допускает интегрирующий множитель как функцию одной переменной у, т.е.то
. |
(5.8)
|
Пример 3. Решить уравнение
Выясним, имеет ли данное уравнение интегрирующий множитель как функцию одной переменой. Вычислим .
,т.е. является функцией, зависящий только отх. Следовательно, интегрирующий множитель находим из уравнения, т.е..
Умножая исходное уравнение на , получим уравнение в полных дифференциалах:
.
Записав его в виде ,
имеем
Лекция 9.