Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
7-9.doc
Скачиваний:
49
Добавлен:
17.03.2015
Размер:
873.98 Кб
Скачать

85

Лекция 7.

1. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений

При решении многих задач физики, химии, биологии, других наук не всегда удаётся непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающими тот или иной процесс. Однако, в большинстве случаев можно установить связь между функциями и скоростями их изменения относительно независимых переменных, то есть найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной.

Определение 1. Уравнение, содержащее независимую переменнуюx, искомую функциюy и её производныеy ',y'', …,y(n)или дифференциалы называется дифференциальным.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F (x, y, y', y'',…,y(n)) = 0

(1.1)

или

.

(1,1а)

Определение 2.Если искомая функцияy=(x) есть функция одного независимого переменного, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Определение 3. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной искомой функции, входящей в это уравнение.

Например, уравнение xy' + y -8 =0 является уравнением первого порядка, а уравнениеy'''+ 7y'– 3y= 0 – уравнением третьего порядка. Уравнение (1.1) является уравнениемn-ого порядка, записанным в общем виде.

Всякая функция y=(x), которая, будучи подставлена в уравнение (1.1) обращает его в тождество, называется решением этого уравнения. Решить, или проинтегрировать данное дифференциальное уравнение – значит, найти все его решения в заданной области. График решения называется интегральной кривой.

При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Определение 4.Общим решением дифференциального уравненияn-ого порядка называется функция

y = ( x, C1, C2, …,C n ),

(1.2)

зависящая от nпроизвольных постоянныхС1,С2,…,Сn и удовлетворяющая данному уравнению при любых значениях этих постоянных.

Определение 5. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных.

Чтобы из бесконечного числа решений дифференциального уравнения, определяемых его общим решением, выделить одно частное решение, требуется ввести начальные условия. Задать начальные условия дифференциального уравнения n-ого порядка означает задать некоторое фиксированное значение аргументаx=x0и соответствующие значения функцииy(x0) =y0и её производных, …,y(n-1)= (n-1). Задача нахождения частного решенияy=y(x), удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде записывается так:

F (x, y, y')=0.

(1.3)

В простейших случаях оно может быть разрешено относительно производной y':

у ' =(x,y).

(1.4)

Общее решение уравнения (1.4) имеет вид:

y =(x, C),

(1.5)

где С – постоянная. Например, общим решением уравненияy' = - является всякая функция видаy = , обращающая данное уравнение в тождество.

В случае дифференциального уравнения первого порядка задача Коши ставится так: найти частное решение y = y(x) уравненияy' = (x,y), удовлетворяющее условиюy(x0) =y0. Возвращаясь к уравнениюy' = -, найдём его частное решение, удовлетворяющее условиюy(2) = 4. Подставляя в общее решение начальные условияx=2,y=4, найдём 4 =, то естьС =8. Таким образом, искомым частным решением является функцияy=.

у

4

2х

Общее решение y = уравненияy' =- определяет семейство равносторонних гипербол, асимптотами которых являются оси координат, а также прямуюy=0 (приС=0). Частное решение определяет гиперболу, проходящую через точку (2;4).

Сделаем ещё одно замечание относительно уравнений вида (1.4). Умножив обе его части на дифференциал независимой переменной dx, получим уравнение, содержащее дифференциалы:

dy = (x, y) dx.

(1.6)

Уравнение (1.6) также называется дифференциальным уравнением первого порядка. Из определения дифференциала следует, что уравнение (1.6) равносильно уравнению (1.4).