1. Уравнение вида

(6.9)

не содержит явным образом искомой функции .

Полагая и, получим уравнение первого порядка

с неизвестной функцией . Проинтегрировав это уравнение, находим его общее решение:а затем из соотношенияполучаем общий интеграл уравнения (6.9):

.

Пример 4. Решить уравнениеx(y''+1) +y' =0 (x0).

 Полагая откудаполучим

или . Это уравнение – однородное. Полагаем.

Цепочка преобразований:

Интегрируя, находим .

Пример 5.Решить уравнение x³ y'' + x²y' =1 (x0).

• Положим , тогдаУравнение примет вид:

или.

Это уравнение линейное .

Цепочка преобразований: . Отсюда

получаем два уравнения: 1) .

Знаяи, находим

Далее, 

2. Уравнение вида

(6.10)

не содержит явным образом независимого переменного .

Полагая здесь

и,

получим дифференциальное уравнение первого порядка , где роль независимой переменной играет. Интегрируя его, находим.

Подставляя это значение в соотношение , получаем дифференциальное уравнение первого порядка для функцииот:.

Разделяя переменные, находим: .

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения:

.

Пример 6. Решить уравнение.

 . Подставляем в исходное уравнение:.(Учитываем:, т.е.).



Пример 7.Решить уравнение .

 . Подставляем в исходное уравнение:

Отсюда: 1) ,т.е. .

2) . Цепочка преобразований:,

, ,, ,

. 

Пример 8.Решить уравнение .

• 

Цепочка преобразований:



7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами содержат у,у', у''в первой степени и коэффициенты при них – постоянные величины

y'' + py' + qy =0.

(7.1)

Определение 1.Два частных решенияиуравнения (7.1) образуют фундаментальную систему решений, если для любого

y₁(x) y₂(x)

W(x) =  0 (7.2)

y'₁(x) y'₂(x)

Определитель называют определителем Вронского, или вронскианом решенийи.

Теорема о структуре общего решения

Если два частных решенияилинейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами образуют фундаментальную систему, то общее решение этого уравнения имеет вид

,

(7.3)

где и- произвольные постоянные.

Выражение называется линейной комбинацией функцийи.

Доказательство.Докажем сначала, что функция (7.3) является решением уравнения (7.1). Для этого подставим в уравнение (7.1) вместо у линейную комбинацию и докажем, что оно превращается в тождество:

(C₁y₁ + C ₂y₂)''+ p(C ₁y₁ + C ₂y₂)' + q(C ₁y₁+ C ₂y₂) = C₁y₁'' + C₂y₂'' + pC₁y₁' + pC₂y₂'+

+qC₁y₁+ qC₂y₂ =C₁ (y₁'' + py₁' + qy₁) + C₂(y₂'' + py₂' + qy₂).

Так как иявляются решениями уравнения (7.1):

y₁'' + py₁' + qy₁ =0 и y₂'' + py₂' + qy₂ =0,

то при любых значениях иполучаем тождество:

.

А это значит, что функция (7.3) является решением уравнения (7.1).

Теперь докажем, что формула (7.3) представляет общее решение уравнения (7.1). Для этого достаточно показать, то из него можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (6.5).

Пусть (x)–какое-либо частное решение уравнения (7.1) и х₀– некоторое число из области определения этого решения. Обозначим(х₀) =у₀, '(х₀)=у₀'.Отсюда следует, что решениеу=(х) удовлетворяет начальным условиям(х₀, у₀, у₀' ).Покажем, что оно может быть получено из общего решения (7.3) надлежащим выбором постоянныхС₁ и С₂.

Подставляя начальные условия в равенства

у = С₁у₁(х)+ С₂у₂(х),

у' = С₁у₁'(х) + С₂у₂'(х),

получим

С₁у₁(х₀)+ С₂у₂(х₀)= у₀ (7.4)

С₁у₁'(х₀)+ С₂у₂'(х₀)= у₀'

Равенства (7.4) представляют собой систему уравнений с неизвестными С₁ и С₂, причём определитель этой системы

у₁(х₀) у₂(х₀)

W(x₀)=

у₁' (х₀) у₂' (х₀)

является определителем Вронского для функций у₁(х) иу₂(х) прих=х₀. Так как, по условию, частные решенияу₁(х)и у₂(х) образуют фундаментальную систему, тоW(х₀)0 при любом действительном значениих₀. Поэтому система (7.4) имеет единственное решение:

у₀ у₂(х₀) y₁(x₀) y₀

С₁₀ = С₂₀ =

у₀' у₂'(х₀) , y₁ '(x₀) y₀'

W(x₀) W(x₀)

Таким образом, существует частное решение

у = С₁₀у₁ + С₂₀у₂, (7.3а)

удовлетворяющее начальным условиям (6.5), причём в силу единственности оно совпадает с решением (х).

Этот вывод основывается на теореме Коши, которая для линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами (7.1) формулируется следующим образом.

Теорема Коши: При любых начальных данных (х₀; у₀; у₀') задача Коши имеет, причём единственное, решение, то есть при любых начальных данныхх₀, у₀, у₀'существует, причём единственное, решение уравнения (7.1), удовлетворяющее начальным условиям (6.5):у₀(х₀) = у₀, у'(х₀)= у₀'.