5. Уравнения в полных дифференциалах

Уравнение

(5.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x,y):

.

Для того чтобы уравнение (5.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы

.

(5.2)

Если известна функция, полным дифференциалом которой является левая часть уравнения (5.1), то все решения этого уравнения удовлетворяют условию u(x,y)=C, гдеС - произвольная постоянная.

Чтобы найти функцию u(x,y), воспользуемся равенствами :

.

(5.3)

Интегрируя первое из этих равенств по x, считаемy постоянным, и поэтому константа интегрирования может зависеть оту:

,

(5.4)

где произвольная дифференцируемая функция,F(x,y)- первообразная отP(x,y). Подберем функциютак, чтобы удовлетворялось второе из соотношений (5.3). Для этого продифференцируем (5.4) поу и результат приравняем к. Таким образом, получим уравнение для определения функции:

.

(5.5)

Из (5.5) определяем и, интегрируя, находим. Подставляя эту найденную функцию в соотношение (5.4), получаем искомую функциюu(x,y).

Пример 1. Решить уравнение (2xy+3y²)dx + (x²+6xy-3y²)dy = 0.

 В данном случае ,.

,.

Следовательно, , и левая часть данного уравнения является полным дифференциалом некоторой функции. Имеем

,.

Из первого уравнения находим

.

Для определения функции дифференцируем полученное равенство поуи приравниваем выражению

,

т.е. . Отсюда. Поэтому. Общее решение записывается в виде



Пример 2. Решить уравнение.

• Это уравнение в полных дифференциалах, т.к.

.

Функцию u(x,y) найдем из уравнений. Интегрируя второе из этих уравнений поу, считаяхпостоянным, имеем:где− произвольная дифференцируемая функция.. Следовательно,

.

Пусть левая часть уравнения (5.1) не есть полный дифференциал. Иногда удается подобрать такую функцию , после умножения на которую всех членов уравнения его левая часть становится полным дифференциалом. Общее решение полученного таким образом уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения. Функцияназываетсяинтегрирующим множителемуравнения (5.1).

Итак, умножим обе части уравнения (5.1) на

.

(5.1а)

Для того чтобы это уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение

,

т.е. .

Таким образом, интегрирующий множитель есть решение уравнения

.

(5.6)

В некоторых частных случаях уравнение (5.6) упрощается и интегрирующий множитель для уравнения (5.1) легко найти.

1. Если уравнение (5.1)имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х , т.е., то из уравнения (5.6)имеем

.

(5.7)

2. Если уравнение (5.1) допускает интегрирующий множитель как функцию одной переменной у, т.е.то

.

(5.8)

Пример 3. Решить уравнение

 Выясним, имеет ли данное уравнение интегрирующий множитель как функцию одной переменой. Вычислим .

,т.е. является функцией, зависящий только отх. Следовательно, интегрирующий множитель находим из уравнения, т.е..

Умножая исходное уравнение на , получим уравнение в полных дифференциалах:

.

Записав его в виде ,

имеем 

Лекция 9.