TM_Lectures_part_I_07
.pdfОсновные задачи и методы теоретической механики.
Рассмотрим особенности решения уравнений Ньютона.
Пусть при t = t0 известны положения всех точек, образующих некоторую механическую систему, так же заданы все силы
|
|
|
|
|
|
Fi |
|
|
|
}, t) |
(1) |
Fi ({rj },{rj |
|||||
действующие в системе. На основе этой информации необходимо определить положение точек системы в момент времени t t0, то есть необходимо определить эволюцию системы во времени.
Зная все силы действующие в системе, мы можем записать систему
уравнений движения:
|
|
|
|
Fi , i=1, .., A |
(2) |
miri |
||
A – общее количество тел в системе. |
||
|
Это уравнение, |
записанное в векторной форме, представляет собой три |
дифференциальных уравнения второго порядка. Например, проектируя обе части (2)
на оси декартовой системы координат, получим
mx Fx , my Fy , mz Fz .
Решение системы (2) называется законом движения
|
|
(3) |
|
|
ri |
ri (t,c1,..., c6 A ) |
|
|
|
Здесь c6 A - совокупность констант. |
|
|||
|
Закон движения описывает эволюцию системы, то есть зависимость координат |
|||
точки от времени. |
|
|
||
|
Различают две задачи динамики: |
|
||
|
|
|
|
|
|
1) исходя из заданной системе силе |
F необходимо найти закон движения |
||
|
|
|
|
|
|
точки r (t) . Это прямая (основная) задача динамики. |
|||
|
2) по |
заданному закону |
движения |
точки, т. е. по известному закону |
|
|
|
|
|
|
движения r |
r (t) находят силу |
F , действующую на точку. Это обратная задача |
|
динамики
1
Система уравнений (2), которая является системой второго порядка, может быть однозначно решена. Это следует из однозначности и единственности решения дифференциальных уравнений. Для этого необходимо знать начальные условия для
механической системы
|
|
|
|
|
|
(t0 ) |
(4) |
ri (t0 ), ri |
|||
Когда нам известны начальные условия (совокупность начальных координат и скоростей всех точек системы) мы можем составить систему уравнений:
riri
(t |
|
|
|
,..., c |
) |
|
|
) r |
r (t,c |
|
|||||
0 |
i0 |
i |
1 |
|
6 A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t |
) V |
V (t,c |
,..., c |
|
) |
||
0 |
i0 |
i |
|
1 |
6 A |
|
|
(5)
Она может быть однозначно разрешена относительно входящих в нее неизвестных констант. Найденное решение (закон движения) будет зависеть от начальных условий:
ri
|
|
|
(6) |
ri |
(t,{rj 0},{Vj 0}) |
||
Решение уравнения (2), которое удовлетворяет какому-либо конкретному
начальному условию, называют частным решением. Иногда бывает важно найти решение, удовлетворяющее произвольным условиям, это так называемое общее
решение (3). |
|
|
|
|
|
|
Можно заключить, что механическое |
состояние точки в |
момент t , т. |
||
|
|
|
|
|
|
е. r |
|
|
|
|
|
(t), и r (t) однозначно определяется ее начальным состоянием и условиями ее |
|||||
движения (действующими на нее силами). |
|
|
|
||
|
Сформулированное |
предложение |
о |
предсказуемости |
эволюции |
механической системы во времени при заданных начальном состоянии и условиях движения называется принципом механической причинности, или принципом механического детерминизма. Его суть наиболее точно и полно выразил Лаплас: “Разумное существо, которое в каждый момент знало бы все движущие силы природы и имело бы полную картину состояния, в котором природа находится, могло бы (если бы только его ум был в состоянии проанализировать эти данные) выразить одним уравнением как движение мельчайших атомов, так и движение самых больших тел мира. Ничто не осталось бы для него неизвестным, и оно могло бы обозреть одним взглядом как будущее,
2
так и прошлое”, т. е. по начальным состояниям и взаимодействиям состояние системы в любой момент времени в будущем определялось бы однозначно. Со времен Лапласа появились новые важные идеи. Вот одна из них.
Система уравнений (2) может быть решена в элементарных функциях не всегда. Это объясняется тем, что функции F, входящие в правую часть системы уравнений (2), могут иметь сложные зависимости от координат скоростей и времени. В этом случае (2) решают с помощью численных методов.
Таким образом, цели и методы теоретической механики в основном связаны с обходом затруднений, обусловленных тем, что основное уравнение динамики (2) не может быть проинтегрировано в общем виде.
Хотя уравнения, описывающие эволюцию механической системы во времени, вполне детерминированы, ее реальное развитие во времени может различаться. Это связано с чувствительностью некоторых механических систем к начальным условиям, а точнее, к даже малому изменению начального состояния.
В классической динамике в качестве примера можно привести шарик, падающий на острие лезвия бритвы, траектория которого после соприкосновения существенно зависит от положения шарика относительно острия в момент времени t перед тем, как он касается лезвия.
3