TM_Lectures_part_I_04
.pdf
Лекция 4 (ТМ, часть I)
Сложение движений.
При описании движения материальной точки, часто бывает важным уметь перейти из одной системы отсчета в другую, которая при этом может совершать движение.
Введем такие системы и обозначим неподвижную систему отсчета, как S, а S/ -подвижная.
Рис.1
|
|
||
S: ei const |
|||
S/: |
|
|
const |
|
e |
||
|
|
i |
|
и ei ei (t)
Базисные вектора S/ могут менять свою ориентацию в пространстве. Поскольку S движется и т.А совершает движение, то ro / (t), r (t), r (t) .
t=t/
На рис.1 можно выделить три вида движения исходя из взаимосвязи векторов. r ro r (1)
Первый вид: связан с перемещением т.А, относительно неподвижной системы отсчета – это движение называется абсолютным.
Второй вид: связан с перемещением т.А, относительно подвижной системы отсчета – это движение называется относительным.
Третий вид: связан с перемещением т.А со взаимным движением системы отсчета – это движение называется переносным.
|
|
|
d |
|
|
|
V r , |
r |
|
(r |
r |
) |
|
|
||||||
|
abs |
|
dt |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
xiei |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
r |
ro xiei xiei |
|
|
|||
i |
i |
Vrel xiei |
(2) |
i |
|
1
Vportable ro xiei |
(3) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vabs |
Vportable |
V rel |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wabs |
r |
|
ro |
|
xiei xiei |
ro xiei xiei xiei xiei |
||||||
dt |
||||||||||||
|
|
|
|
i |
i |
|
i |
i |
i |
i |
||
wrel |
xiei |
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wportable ro xi e |
|
(5) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 xie wkoriol |
|
|
|
(6) |
|
|
|
|
||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулами (3), (5) и (6) пользоваться неудобно. Рассмотрим их подробнее. В дальнейшем |
|||||||||||||||||
плоскопараллельное движение учитывать не будем, то есть О совпадет с О/. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vportable xi ei |
|
|
|
|||||
r const , тогда Vабс |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
Найдем проекции Vabs на базисные вектора подвижной СО |
|||||||||||||||||
(V |
e ) V abs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
abs |
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 (e1, ei ) x2 (e2 , ei ) x3 (e3 , ei ) |
|
|
||||||
(Vabsei ) xj ej , ei |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как |
(ei ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1, то ei ei 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как ei ej |
0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то ei ej ei |
ej 0 |
или ei ej |
ei ej |
|
|||||||||||||
V abs (V abse ) x |
(e e ) x (e e ) |
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
1 |
3 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это компонента векторного произведения: x2 (e1e2 ) x3 |
(e3e1) |
||||||||||||||||
Аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V abs (V abse ) x (e e ) x |
(e e ) |
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
1 |
1 2 |
3 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|||
V abs (V abse ) x |
(e e ) x |
(e e ) |
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
3 |
2 |
2 3 |
3 |
1 |
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 |
e2 |
e3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
V abs |
Vi absei |
(e2e3 ) |
(e3e1 ) |
(e1e2 ) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e2e3 )e1 |
(e3e1)e2 (e1e2 )e3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вектор угловой скорости: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Vabs [w r ] |
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При вращении вокруг неподвижной точки существует в любой момент единственный вектор w?
что мгновенная абсолютная скорость выражается по (7). |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если r |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
(7 |
) |
|
|
|
||
ei [w ei ] |
|
|
|
|
|||||
Vabs |
Vrel ro [w r ] |
|
(8) |
|
|
||||
wkor |
2 x ei 2 xi [w ei ] 2 [w (xiei )] 2[w Vrel ] |
|
|||||||
wportable |
rO |
xi ei |
|
d |
[w ei ] [w ei ] [w ei ] [w ei ] [w [w ei ]] |
rO [ r ] [w [w r ]] |
|||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как w |
|
|
|
|
|
||||
wabs |
wrel rO [ r ] [w [w r ]] 2[w Vrel ] |
(9) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Анализ (8) и (9) показывает, что любой вид движения можно разделить на сумму двух движений: поступательного и вращательного.
В каждый момент времени вектор угловой скорости определяет мгновенную ось вращения. Частным случаем рассмотренной задачи, является кинематика твердого тела.
рис. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
Пусть S |
связана с твердым телом, тогда длина вектора r |
постоянна, |r’|=const. Тогда |
|
|
|
0 . С |
|
|
r |
r |
|||||
учетом этого выражения легко получим связь между скоростью и ускорения точек твердого тела относительно двух систем отсчета:
Vabs rO [w r ]
wabs rO [ r ] [w [w r ]]
3