TM_Lectures_part_I_09

Лекция 9 (ТМ, часть I)

Законы сохранения и Интегралы движения

Рассмотрим механическую систему, состоящую из N точек. Ее движение подчиняется системе уравнений движения:

Для которой необходимо задать начальные условия:

Решением (9.1)-(9.2) является закон движения:

Решение (9.1) иногда можно сильно упростить если известны так называемые – интегралы движения.

Интегралы движения бывают 2х видов: первые и вторые интегралы движения.

Первый Интеграл Движения – это функция времени, координат и скоростей, которая при движении механической системы сохраняет свое постоянное значение, определяемое начальными условиями:

вектор, аналогичный смысл фигурных скобок для вектора скорости.)

Второй интеграл движения – это функция времени и координат, которая при движении механической системы сохраняет свое постоянное значение, определяемое начальными условиями:

С интегралами движения связаны так называемые законы сохранения. Рассмотрим их последовательно.

10. Закон сохранения и изменения импульса.

Первая, сохраняющаяся со временем величина, следует из уравнения (9.1). Выпишем уравнение движения еще раз.

Тогда:

̇̅= 0 ,

заметим, что здесь под знаком производной стоит константа, которую обозначим как

̇̅≡ ̅= const

или

Эта сохраняющаяся со временем величина, если равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю известна как импульс.

Если сила не равна нулю, тогда (9.1) можно переписать в виде уравнения движения:

Это уравнение можно интерпретировать как - причиной изменения импульса является некоторая сила, действующая на тело.

Сам импульс представляет собою динамическую характеристику механической системы.

Импульс может сохраняться не только в целом, но и вдоль отдельных направлений.

(9.5) можно переписать и в другой форме:

Выбираем систему координат таким образом, чтобы ее оси были направлены вдоль линий действия сил.

Просуммируем все уравнения, входящие в систему (9.5):

В последнем выражении FR – некая равнодействующая сила.

2

Выражение с лева, под знаком производной по времени, называется

полным импульсом:

Первое с права слагаемое это внешняя равнодействующая сила, второе - внутренняя равнодействующая сила.

По третьему закону Ньютона

Таким образом полный импульс сохраняется в случае отсутствия внешних, по отношению к механической системе, сил.

Механическая система в которой отсутствуют внешние силы называется замкнутой.

Можно сказать, что полный импульс не сохраняется для незамкнутых механических систем.

Выражение (9.6) можно переписать в форме второго закона Ньютона, получим еще одну характеристику механической системы.

Если все массы постоянны:

3

Новый вектор:

К его концу приложена равнодействующая всех внешних сил.

Также можно ввести вектор импульса центра масс.

Это означает, что механическая система движется как единое целое и ее при некотором масштабе длин можно рассматривать как материальную точку.

Центр масс – это точка, с которой удобно связывать начало отсчета системы координат.

4