TM_Lectures_part_I_08

Лекция 8 (ТМ, часть I)

Примеры общего решения уравнения движения

Рассмотрим механическую систему из N тел – материальных точек.

Ее эволюция описывается системой из N уравнений движения Ньютона в векторной форме:

̈̅= ̅ , где = 1, . . , (8.1)

или 3N скалярных уравнений. В случае декартовой системы координат имеем:

В начальный момент времени (t=t0 ) положение тел и их скорости заданы

начальными условиями :

̅ ≡ ̅ ( ̅, ̇̅, ) (7.4)

Согласно методам решения дифференциальных уравнений, решение системы (8.1) является векторной функцией времени и 6N констант

̅= ̅( , 1. . 6). (8.5а)

Также можно получить выражение для скоростей

̇̅= ̇̅( , 1. . 6). (8.5b)

Если положить в (8.5a) и (8.5b) t=0 и приравнять эти выражения к (8.2a) и (8.2b), то можно получить следующую систему,

которую можно разрешить как систему линейных уравнений относительно коэффициентов 1. . 6 :

задачи (8.1) - (8.2) определяется однозначно. Это доказывается в задаче Коши.

Рассмотрим принципы общего решения системы (8.1) в некоторых частных случаях.

Пример 1.

Силы являются функциями только времени

̅ ≡ ̅ ( ).

Рассмотрим движение одного тела, в этом случае движение описывается одним векторным уравнением

̈̅ = ̅ (t) .

или системой из 3х скалярных уравнений

̈ = ( ), (8.9a)

2

̈ = ( ) , (8.9b)

̈ = ( ) . (8.9c)

Эти уравнения можно решать по отдельности. Рассмотрим движение по оси x. Перепишем (8.9a) в следующем виде:

Т.е. для движения по оси х, решение может быть получено в общем виде если

Аналогично можно получить выражения для ( ) и ( )!

Пример 2.

Сила является функцией координат

̅ ≡ ̅ ( 1̅,… , ̅).

Рассмотрим случай движения одного тела:

̈̅ = ̅ (̅),

или

̈ = ( , , ), ̈ = ( , , ) , ̈ = ( , , ) .

3

В таком виде эту систему решить нельзя т.к. мы имеем систему зацепленных уравнений. Ситуация меняется если сила записывается в сепарабельном виде:

тогда

̈ = ( ),

̈ = ( ) ,

̈ = ( ) .

В этом случае, как и в Примере 1 каждое уравнение можно решать по отдельности. Проинтегрируем первое уравнение. Для этого перепишем его в новом виде помножив левую и правую часть на dx:

тогда новое уравнение

̇̇= 1 ( ) ,

легко интегрируется

В результате имеем общее решение в виде квадратуры

Т.е. для движения по оси х, как и в Примере 1, решение может быть получено в общем виде если функция ( ) является известной. Аналогично можно получить выражения для ( ) и ( )!

4

Пример 3.

Сила является функцией скоростей

Снова рассмотрим случай движения одного тела:

Эту систему как и в предыдущем примере можно решить если сила записывается в сепарабельном виде:

тогда

̈ = ( ̇),

̈ = ( ̇) ,

̈ = ( ̇).

Как и в Примерах 1 и 2 каждое из этих равнений можно решать по отдельности. Будем интегрировать первое уравнение, для этого перепишем его в новом виде помножив левую и правую часть на dx:

тогда в новом уравнении можно разделить переменные:

̇̇= 1 ( ̇) ,

легко интегрируется

̇̇ = 1 .( ̇)

В результате мы можем получить решение задачи в виде квадратуры:

Как и ранее, для движения по оси х решение может быть получено в общем виде если функция ( ) является известной. Аналогично можно получить выражения для ( ) и ( )!

5

Выводы:

-Для некоторых частных случаев, для решения системы уравнений движения Ньютона можно получить общий вид решение задачи по описанию движения.

-При этом необходимо знать значение массы движущегося тело, выражение для силы и начальные условия.

6