Анализ чувствительности управленческих решений в задачах линейного программирования.

Пусть мы находимся в классе задач линейного программирования:

Y_i = b_i -  a_ij  x_j⁰

c_j, a_ij, b_i – параметры модели

x_j⁰ – оптимальное решение

y_i – запасы ресурса i –го вида

Ф(х⁰), Y(х⁰) – выходные характеристики данной модели (результат решения оптимизационной задачи).

При некоторых заданных исходных параметрах находится оптимальное управленческое решение.

Реальная жизнь, рыночная обстановка всегда сопровождаются определенными возмущениями (это различные изменения).

∆c_j – отклонение по коэффициентам целевой функции,

∆a_ij – отклонение по нормативам затрат,

∆b_i – отклонение по ресурсу.

Возникают следующие задачи:

1. Как оценить влияние этих возмущений на управленческое решение.

2. Что делать лицу, принимающему решение в условиях возмущения.

Ф= 18х₁ + 78х₂  max

102х₁ + 122х₂ ≤ 5000,

х₂ ≤ 30.

х₁⁰ = 12; х₂⁰ = 30; Ф = 30*78 + 12*18 = 2556 р.

у₁ = 0 (резервы не останутся).

Бухгалтер сообщает, что отдали долг в размере 2000 р. Возникло возмущение в 2000 р. (∆b₁ = 2000).

Будем выпускать еще 19,6 кг. вареной колбасы.

ОДС расширится.

Лекция 6

Запишем матрицу:

	х1	х2	…	хj	…	хк	хк+1	…	Уn
	a11	a12	…	a1j	…	a1k	a1k+1	…	a1n	≤ b1
	a21	a22	…	a2j	…	a2k	a2k+1	…	a2n	≤ b2
	,,,	,,,	…	,,,	…	,,,	,,,	…	,,,	,,,
	ai1	ai2	…	aij	…	aik	aik+1	…	ain	≤ bi
	,,,	,,,	…	,,,	…	,,,	,,,	…	,,,	,,,
	ak1	ak2	…	akj	…	akk	akk+1	…	akn	≤ bk
	,,,	,,,	…	,,,	…	,,,	,,,	…	,,,	,,,
	am1	am2	…	amj	…	amk	amk+1	…	amn	≤ bm

Допустим, что задача решена, т.е. найдено оптимальное решение, найдено значение критерия в этом оптимальном решении и определены резервы по ресурсу.

Предположим, что в оптимальном плане х_j отличного от нуля (х_j⁰), .

эти переменные выгодны, они вошли в план,

эти переменные не выгодны, они не вошли в план.

Выяснилось, что в оптимальном плане У_i = 0 для и отличны от 0 для :

Оказалось, что к ресурсов оказалось дефицитными, а остальные ресурсы оказались недефицитными.

Выделим в исходной матрице матрицу размерностью кк:

	х1	х2	…	хj	…	хк	хк+1	…	Уn
	a11	a12	…	a1j	…	a1k	a1k+1	…	a1n	≤ b1
	a21	a22	…	a2j	…	a2k	a2k+1	…	a2n	≤ b2
	,,,	,,,	…	,,,	…	,,,	,,,	…	,,,	,,,
	ai1	ai2	…	aij	…	aik	aik+1	…	ain	≤ bi
	,,,	,,,	…	,,,	…	,,,	,,,	…	,,,	,,,
	ak1	ak2	…	akj	…	akk	akk+1	…	akn	≤ bk
	,,,	,,,	…	,,,	…	,,,	,,,	…	,,,	,,,
	am1	am2	…	amj	…	amk	amk+1	…	amn	≤ bm

В этой матрице будут коэффициенты, которые соответствуют ненулевым х и нулевым ресурсам.

Будет строгое равенство: А_кх=В

В векторном виде введем чувствительность переменных х к вариации ресурсов.

α будет матрица коэффициентов чувствительности. Каждый коэффициент матрицы будет определять чувствительность j-той переменной к вариации j-го ресурса.

Если бы возникло возмущение Δb_j, то оно породило бы реакцию Δx_j:

.

Продифференцируем уравнение А_кх=В по В:

Умножим обе части на матрицу обратную А_к:

Переходим от частных коэффициентов к отклонениям.

Если вариации подверглись одновременно несколько типов ресурсов, тогда общая реакция будет подчиняться аддитивному правилу:

s – индекс возмущенного ресурса.

Рассмотрим пример.

Пусть имеется задача Ф=2х₁ + 4х₂ → max

1,2 – ресурсы дефицитные,

3 – ресурс не дефицитный,

У≠0.

Х₁+2х₂=100

2х₁+х₂=100 → х₁=33,4; х₂=33,3.

Ф=2*33,4+4*33,3=200

У₁=У₂=0, тогда У₃=500/3=166,7.

В данном случае матрица А_к:

,

Переходим к строгим равенствам, зная, что эти ресурсы дефицитные:

x₁+2х₂=b_1,

2x₁+x₂=b₂.

Продифференцируем 1 и 2 уравнения по b₁:

α (чувствительность) показывает насколько меняется х при изменении b на единицу.

Если в системе появится 1 дополнительная шт. ресурса 1, то вторую продукцию можно увеличить на 2/3.

Добавление в систему ресурса увеличивает возможности.

Продифференцируем исходную систему по b₂:

Если одновременно меняется несколько ресурсов, то справедливо правило «аддитивности»:

Рассмотрим пример:

Предположим, что в некоторой системе возникло возмущение по некоторому ресурсу b_s. Это возмущение породит изменение в оптимальном плане:

j-тая продукция – продукция особой важности. Нам желательно застабилизировать выпуск в прежнем виде. Тогда может формулироваться так называемая задача взаимозаменяемости ресурсов.

Тогда Δх_j будет отрицательно.

Однако есть некоторый l-тый ресурс b_l , которым мы управляем (можем его докупить). Более того α_jl>0.

Надо рассчитывать количество l-того ресурса, который компенсировал бы недопоставку S-того ресурса.

b_l → ∆b_l = ∆x_j=α_j^l·∆b_l

- коэффициент взаимозаменяемости ресурсов.

Чувствительность плана к недефицитным ресурсам = 0.

Введем характеристику чувствительности -чувствительность критерия задачи к вариации i-го ресурса.

Чувствительность критерия к недефицитным ресурсам = 0.

Чувствительность критерия к дефицитным ресурсам:

ΔФ=Z_i Δb_i

Если будет колебаться несколько критериев, то ΔФ=∑Z_i Δb_i