6. Постановка задачи линейного программирования и ее экономическая трактовка

В задаче принятия управленческих решений можно дать строгую математическую постановку. Она может быть представлена в следующем виде.

Пусть имеет место процесс принятия управленческого решения, результат которого зависит от вектора состояния объекта управления и некоторых неслучайных фиксированных параметров, полностью известных лицу, принимающему решения. Вектор состояния объекта управления может быть представлен в виде n-мерного вектора х=(х1,х2…хn), на компоненты которого наложен ряд ограничений, обусловленных физическим и экономическим смыслом задачи. Эффективность управления характеризуется некоторым численным критерием оптимальности Ф.

Для определенности будем считать, что речь идет о поиске оптимального решения по управлению деятельностью некоторой производственной организации по критерию максимизации выручки, пусть организация выпускает n штук продукции. Объем производства продукции обозначим через хj, j=1,….n, цену продукции через сj. При производстве продукции используются m штук сырьевых ресурсов. Через bi, i=1…m обозначим запасы сырьевых ресурсов. Примем, что аij, норматив затрат i-го ресурса на производство одной штуки j-той продукции. Требуется определить оптимальный объем производства продукции, при котором прибыль системы будет максимальной. Математическая запись сформулированной задачи имеет вид:

Такую задачу называют задачей линейного программирования. Она характеризуется тем, что целевая функция и ограничения, являются линейной функцией переменных х. Все остальные задачи математического программирования, не сводимые к данной постановке являются нелинейными задачами.

Решением задачи являются оптимальные объемы производства продукции х0j и максимальное значение целевой функции Ф0.

Самым распространенным методом решения таких задач является симплекс-метод. При линейных постановках задач принятия управленческих решений всегда следует иметь ввиду, что линейное, а тем более детерминированное описание задачи обычно представляет собой довольно грубое приближение реальной задачи.

Графическая интерпретация задачи линейного программирования.

В системе координат х1, х2 построим область допустимых решений, которая представляет собой пересечение всех ограничений. Отметим, что любая точка из ОДР будет являться решением задачи, то есть удовлетворять всем ограничениям, но не обязательно будет являться оптимальной с точки зрения критерия. Оптимальное решение всегда находится на пересечении ограничений (угловая точка). Оно не обязательно является единственным. Возникают ситуации с бесконечным множеством оптимальных решений, например, когда точка на отрезке прямой является оптимальной. Для определения оптимальной точки геометрическим методом дополнительно построим прямую, соответствующую нулевому уровню целевой функции, в нашем случае выручке. Наиболее удаленная от прямой точка из ОДР и будет являться оптимальной, то есть максимизирующей критерий задачи.

Резерв по ресурсу– это разность между запасами с сколько надо потратить.

у₁= 0

у₂= 0 дефицитный ресурс

У₃≠ 0 – недефицитны ресурс.

Имеется предприятие по производству колбасы. Мы можем выпускать 2 вида колбасы: - вареную; - ветчинно-рубленную.

Цена вареной колбасы 120 руб. Цена ветчинно-рубленной – 200 руб.

Для производства этих колбас используется 3 вида ресурсов:

- говядина, - свинина, - горох.

На складе имеются следующие запасы этих ресурсов:

- говядина – 100 кг., - свинина – 60 кг., - горох – 200 кг.

Известны нормативы затрат каждого вида ресурса на производство единицы прод:

Ставится задача: Лицо, принимающее решения, должно составить план выпуска продукции, так чтобы уложиться в ограничение и обеспечить максимум стоимости выпускаемой продукции.

Задача в общем виде:

- количество говядины, которая потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию,

- количество свинины, которая потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию,

- количество гороха, который потребуется, чтобы реализовать нашу продукцию.

,

,

,

.